🎓 Bileşik önermeler nedir Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, "Bileşik önermeler nedir Test 1" sınavında karşılaşacağın temel mantık kavramlarını, önermelerin yapısını ve bağlaçları sade bir dille özetler. Konuyu daha iyi anlamana yardımcı olacak ana başlıklar aşağıdadır.
📌 Önerme Nedir?
Mantıkta "önerme", doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir.
- Bir ifadenin önerme olabilmesi için, doğru ya da yanlış değerinden sadece birini alması gerekir.
- Önermeler genellikle küçük harflerle ($p, q, r, \dots$) gösterilir.
- Örnek: "$2+2=4$" bir önermedir (doğru). "Türkiye'nin başkenti İzmir'dir" bir önermedir (yanlış).
- Emir, soru, istek cümleleri önerme değildir. Örnek: "Kapıyı kapat!" veya "Nasılsın?"
⚠️ Dikkat: Önermelerin doğruluk değeri, ifadenin içeriğine göre belirlenir, senin düşüncene göre değil.
📌 Bileşik Önermeler Nedir?
Birden fazla önermenin mantık bağlaçları ile birbirine bağlanmasıyla oluşan yeni önermelere "bileşik önerme" denir.
- Basit önermeler tek bir yargı bildirirken, bileşik önermeler birden fazla yargıyı birleştirir.
- Örnek: "Hava güneşli" ($p$) ve "Denize gideceğiz" ($q$) önermeleri birleşerek "Hava güneşli ve denize gideceğiz" ($p \land q$) bileşik önermesini oluşturur.
📝 Değil (Olumsuzlama - $\neg$)
Bir önermenin hükmünü olumsuzlamak için kullanılır. Doğruluk değerini tersine çevirir.
- $p$ önermesinin değili $\neg p$ şeklinde gösterilir.
- Eğer $p$ doğru ise ($\text{D}$), $\neg p$ yanlıştır ($\text{Y}$).
- Eğer $p$ yanlış ise ($\text{Y}$), $\neg p$ doğrudur ($\text{D}$).
- Örnek: $p$: "Bugün salı." $\neg p$: "Bugün salı değildir."
📝 Ve (Tümel Evetleme - $\land$)
İki önermeyi birbirine bağlar. Bileşik önerme ancak ve ancak her iki önerme de doğru olduğunda doğru olur.
- $p$ ve $q$ önermelerinin "ve" ile bağlanması $p \land q$ şeklinde gösterilir.
- Sadece $p$ doğru ve $q$ doğru iken $p \land q$ doğrudur. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.
- Örnek: "Hava güneşli $\land$ Deniz sıcak." Bu ifade ancak hava hem güneşli hem de deniz sıcaksa doğrudur.
📝 Veya (Tikel Evetleme - $\lor$)
İki önermeyi birbirine bağlar. Bileşik önerme, önermelerden en az biri doğru olduğunda doğru olur.
- $p$ veya $q$ önermelerinin "veya" ile bağlanması $p \lor q$ şeklinde gösterilir.
- Sadece $p$ yanlış ve $q$ yanlış iken $p \lor q$ yanlıştır. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
- Örnek: "Kahve içeceğim $\lor$ Çay içeceğim." Bu ifade, kahve içersen veya çay içersen veya ikisini de içersen doğru olur. Sadece ikisini de içmezsen yanlış olur.
📝 İse (Koşullu Önerme - $\implies$)
Bir koşul belirtir. "Eğer... ise..." şeklinde okunur. Tek bir durumda yanlış olur.
- $p$ ise $q$ önermesi $p \implies q$ şeklinde gösterilir.
- Sadece $p$ doğru iken $q$ yanlış ise ($\text{D} \implies \text{Y}$), $p \implies q$ yanlıştır.
- Diğer tüm durumlarda ($\text{D} \implies \text{D}$, $\text{Y} \implies \text{D}$, $\text{Y} \implies \text{Y}$) $p \implies q$ doğrudur.
- Örnek: "Yağmur yağarsa ($p$) $\implies$ Şemsiye alırım ($q$)." Eğer yağmur yağar ve şemsiye almazsan yanlış olur.
💡 İpucu: Koşullu önermeyi, "doğru bir şeyden yanlış bir sonuç çıkmaz" diye düşünebilirsin. Tek istisna budur.
📝 Ancak ve Ancak (İki Yönlü Koşullu Önerme - $\iff$)
İki önermenin birbirine denk olduğunu, yani aynı doğruluk değerine sahip olduğunu ifade eder.
- $p$ ancak ve ancak $q$ önermesi $p \iff q$ şeklinde gösterilir.
- $p$ ve $q$ aynı doğruluk değerine sahipse ($\text{D} \iff \text{D}$ veya $\text{Y} \iff \text{Y}$) $p \iff q$ doğrudur.
- $p$ ve $q$ farklı doğruluk değerlerine sahipse ($\text{D} \iff \text{Y}$ veya $\text{Y} \iff \text{D}$) $p \iff q$ yanlıştır.
- Örnek: "Bir sayı çift sayıdır ($p$) $\iff$ Sayı 2'ye tam bölünür ($q$)." Bu ifade her zaman doğrudur çünkü çift sayı olmak ile 2'ye tam bölünmek aynı anlama gelir.
📊 Doğruluk Tabloları
Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini sistematik olarak belirlemek için kullanılan tablolardır.
- Bir önermenin 2 olası doğruluk değeri vardır (Doğru veya Yanlış).
- $n$ tane farklı basit önermeden oluşan bir bileşik önermenin $2^n$ tane farklı doğruluk durumu vardır.
- Tablolar, her bir basit önermenin olası tüm doğruluk değer kombinasyonlarını ve bu kombinasyonlara karşılık gelen bileşik önermenin doğruluk değerini gösterir.
⚠️ Dikkat: Doğruluk tablolarını oluştururken tüm olası kombinasyonları eksiksiz yazmaya özen göster!
⚖️ Denk Önermeler
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye "denk önermeler" denir.
- $p$ önermesi $q$ önermesine denk ise $p \equiv q$ şeklinde gösterilir.
- İki önermenin denk olup olmadığını anlamak için doğruluk tabloları karşılaştırılır. Eğer aynı satırda aynı doğruluk değerlerine sahiplerse denktirler.
- Örnek: $\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ (De Morgan kuralı). Bu iki ifade her zaman aynı doğruluk değerini verir.
✨ Totoloji
Tüm doğruluk değerleri "doğru" olan bileşik önermelere "totoloji" denir.
- Bir önermenin totoloji olması, ne olursa olsun her zaman doğru olduğu anlamına gelir.
- Örnek: $p \lor \neg p$ (Bir şey ya doğrudur ya da değildir). Bu önerme her zaman doğrudur.
💥 Çelişki
Tüm doğruluk değerleri "yanlış" olan bileşik önermelere "çelişki" denir.
- Bir önermenin çelişki olması, ne olursa olsun her zaman yanlış olduğu anlamına gelir.
- Örnek: $p \land \neg p$ (Bir şey hem doğru hem de yanlış olamaz). Bu önerme her zaman yanlıştır.
💡 İpucu: Bir önerme ya totolojidir, ya çelişkidir ya da ikisi de değildir (olumsallık).
