Ardışık sayılar nedir Test 1

Ardışık iki pozitif tam sayının kareleri toplamı 145'tir. Bu sayıların çarpımı kaçtır?

A) 70
B) 72
C) 74
D) 76

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde ardışık iki pozitif tam sayının kareleri toplamı verilmiş ve bizden bu sayıların çarpımını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Sayıları Tanımlama:

  Ardışık iki pozitif tam sayıdan küçük olanına $x$ diyelim. Bu durumda, ondan sonra gelen ardışık pozitif tam sayı $x+1$ olacaktır.

• 2. Denklemi Kurma:

  Soruda bu sayıların kareleri toplamının 145 olduğu belirtiliyor. O halde denklemi şu şekilde kurabiliriz:

  $x^2 + (x+1)^2 = 145$

• 3. Denklemi Çözme:

  Şimdi denklemi adım adım çözelim:

  • Öncelikle $(x+1)^2$ ifadesini açalım: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
  • Denklemde yerine yazalım: $x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 145$.
  • Benzer terimleri birleştirelim: $2x^2 + 2x + 1 = 145$.
  • 145'i denklemin sol tarafına alalım: $2x^2 + 2x + 1 - 145 = 0$.
  • Denklemi düzenleyelim: $2x^2 + 2x - 144 = 0$.
  • Denklemin her tarafını 2'ye bölelim (basitleştirmek için): $x^2 + x - 72 = 0$.
  • Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-72$ ve toplamları $1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $9$ ve $-8$'dir.
  • Denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x+9)(x-8) = 0$.
  • Buradan $x$ için iki olası değer buluruz: $x+9=0 \Rightarrow x=-9$ veya $x-8=0 \Rightarrow x=8$.
• 4. Doğru Sayıyı Seçme:

  Soruda sayıların "pozitif tam sayı" olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden $x$ değeri pozitif olmalıdır.

  Dolayısıyla, $x = 8$ değerini alırız.

• 5. Sayıları Bulma:

  Küçük sayı $x = 8$'dir.

  Büyük sayı $x+1 = 8+1 = 9$'dur.

• 6. Doğrulama (İsteğe Bağlı):

  Bulduğumuz sayıların kareleri toplamını kontrol edelim: $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$. Doğru bulduk!

• 7. Sayıların Çarpımını Bulma:

  Son olarak, bizden bu sayıların çarpımı isteniyor:

  Çarpım = $8 \times 9 = 72$.

Cevap B seçeneğidir.