Boş olmayan A ve B kümeleri için A x B = B x A eşitliği hangi durumda kesinlikle sağlanır?
A) A ve B aynı elemanlara sahip olduğunda
B) A ve B'nin eleman sayıları eşit olduğunda
C) A = B olduğunda
D) A ve B'nin eleman sayıları farklı olduğunda
Öncelikle, kümelerde Kartezyen Çarpım kavramını hatırlayalım. Boş olmayan $A$ ve $B$ kümeleri için $A \times B$ kümesi, birinci bileşeni $A$ kümesinden, ikinci bileşeni $B$ kümesinden alınan tüm sıralı ikililerin kümesidir. Yani, $A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \text{ ve } b \in B \}$ şeklinde ifade edilir. Benzer şekilde, $B \times A = \{ (b, a) \mid b \in B \text{ ve } a \in A \}$ olur.
Soruda bizden $A \times B = B \times A$ eşitliğinin hangi durumda kesinlikle sağlanacağı isteniyor. İki kümenin eşit olması demek, bu kümelerin aynı elemanlara sahip olması demektir. Kartezyen çarpım kümelerinin elemanları ise sıralı ikililerdir.
Eğer $A \times B = B \times A$ ise, bu durumda $A \times B$ kümesindeki her $(a, b)$ sıralı ikilisi, aynı zamanda $B \times A$ kümesinin de bir elemanı olmalıdır.
Bir $(a, b)$ sıralı ikilisinin $A \times B$ kümesinde olması, $a \in A$ ve $b \in B$ anlamına gelir.
Aynı $(a, b)$ sıralı ikilisinin $B \times A$ kümesinde olması ise, $a \in B$ ve $b \in A$ anlamına gelir.
Şimdi bu iki durumu birleştirelim:
Eğer $a \in A$ ise, yukarıdaki çıkarımdan dolayı $a$ aynı zamanda $B$ kümesinin de elemanı olmalıdır ($a \in B$). Bu durum, $A$ kümesinin her elemanının $B$ kümesinde de olduğu anlamına gelir, yani $A \subseteq B$ (A, B'nin alt kümesidir).
Eğer $b \in B$ ise, yukarıdaki çıkarımdan dolayı $b$ aynı zamanda $A$ kümesinin de elemanı olmalıdır ($b \in A$). Bu durum, $B$ kümesinin her elemanının $A$ kümesinde de olduğu anlamına gelir, yani $B \subseteq A$ (B, A'nın alt kümesidir).
Matematikte, eğer $A \subseteq B$ ve $B \subseteq A$ ise, bu ancak ve ancak $A = B$ olduğunda mümkündür. Yani, $A$ ve $B$ kümeleri birbirine eşit olduğunda bu koşul sağlanır.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) A ve B aynı elemanlara sahip olduğunda: Bu ifade, $A = B$ demektir. Bu durumda $A \times B = A \times A$ ve $B \times A = A \times A$ olacağından eşitlik sağlanır.
B) A ve B'nin eleman sayıları eşit olduğunda: Eleman sayıları eşit olsa bile kümeler farklı olabilir. Örneğin, $A = \{1\}$ ve $B = \{2\}$ olsun. $|A| = |B| = 1$ dir. Ancak $A \times B = \{(1, 2)\}$ iken $B \times A = \{(2, 1)\}$ olur. $(1, 2) \neq (2, 1)$ olduğu için $A \times B \neq B \times A$ dır. Bu seçenek yanlıştır.
C) A = B olduğunda: Yukarıdaki analizimizle tam olarak örtüşmektedir. $A=B$ ise $A \times B = A \times A$ ve $B \times A = A \times A$ olacağından eşitlik kesinlikle sağlanır.
D) A ve B'nin eleman sayıları farklı olduğunda: Eleman sayıları farklı ise kümeler kesinlikle eşit olamaz. Dolayısıyla $A \times B = B \times A$ eşitliği de sağlanmaz. Bu seçenek yanlıştır.
A ve C seçenekleri aslında aynı durumu ifade etmektedir. Ancak C seçeneği matematiksel olarak daha net ve doğrudan bir ifadedir.
