Grafikte x=1 noktasında fonksiyonun değeri 2'dir. Fonksiyon x=1 noktasına soldan yaklaşırken y=5 değerine, sağdan yaklaşırken y=5 değerine yaklaşmaktadır. Bu durumda \(\lim_{x \to 1} f(x)\) kaçtır?
A) 1Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek limit kavramını daha iyi anlayalım.
Soruda bize üç önemli bilgi verilmiş:
Fonksiyonun $x=1$ noktasındaki değeri $2$'dir. Yani, $f(1) = 2$. Bu, fonksiyonun tam olarak $x=1$ noktasındaki y değeridir.
Fonksiyon $x=1$ noktasına soldan yaklaşırken $y=5$ değerine yaklaşmaktadır. Bu, sol limitin $5$ olduğu anlamına gelir: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$.
Fonksiyon $x=1$ noktasına sağdan yaklaşırken $y=5$ değerine yaklaşmaktadır. Bu da sağ limitin $5$ olduğu anlamına gelir: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5$.
Bizden istenen ise $\lim_{x \to 1} f(x)$ değerini bulmaktır.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için, o noktaya hem soldan hem de sağdan yaklaşıldığında fonksiyonun aynı değere yaklaşması gerekir. Eğer bu iki limit birbirine eşitse, genel limit de bu değere eşittir.
Matematiksel olarak ifade edersek:
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ olması için gerekli ve yeterli koşul, $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ ve $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ olmasıdır.
Önemli Not: Fonksiyonun o noktadaki değeri ($f(a)$) limitin varlığını veya değerini etkilemez. Limit, fonksiyonun o noktaya "yaklaşırken" aldığı değerle ilgilenir, tam o noktadaki değeriyle değil.
Soruda verilen bilgilere göre:
Sol limit: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$
Sağ limit: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5$
Gördüğümüz gibi, $x=1$ noktasına soldan yaklaşırken de $y=5$ değerine, sağdan yaklaşırken de $y=5$ değerine yaklaşılmaktadır. Yani sol limit ve sağ limit birbirine eşittir.
Sol limit ve sağ limit birbirine eşit ve $5$ olduğu için, fonksiyonun $x=1$ noktasındaki limiti de $5$'tir.
Yani, $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$.
Fonksiyonun $x=1$ noktasındaki değeri olan $f(1)=2$ bilgisi, limitin değerini etkilememiştir. Bu durum, fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olmadığını gösterir, ancak limitin varlığını ve değerini değiştirmez.
Cevap C seçeneğidir.
