Bir araştırmacı, 50'den küçük asal sayıları inceliyor. Bu asal sayılarla ilgili aşağıdaki gözlemlerden hangisi yanlıştır?
A) Son rakamı 5 olan hiçbir asal sayı yoktur
B) 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir
C) 1'den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir
D) 30'dan büyük tüm asal sayıların son basamağı 1, 3, 7 veya 9'dur
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, 50'den küçük asal sayılarla ilgili verilen gözlemlerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır. Öncelikle 50'den küçük tüm asal sayıları listeleyelim:
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Şimdi her bir seçeneği bu liste ve asal sayıların genel özelliklerine göre inceleyelim:
- A) Son rakamı 5 olan hiçbir asal sayı yoktur
- Bu ifadeyi dikkatlice inceleyelim. Listemizde $5$ sayısı bir asal sayıdır ve son rakamı $5$'tir. Dolayısıyla, bu ifade kelimenin tam anlamıyla yanlıştır. Ancak, matematikte asal sayılarla ilgili bu tür ifadeler genellikle "5 dışındaki hiçbir asal sayının son rakamı 5 değildir" şeklinde yorumlanır. Çünkü $5$'ten büyük ve son rakamı $5$ olan her sayı ($15, 25, 35, 45$ gibi) $5$'e bölüneceği için asal olamaz. Bu bağlamda, $5$'in kendisi hariç, son rakamı $5$ olan başka bir asal sayı yoktur. Sorunun genel mantığı içinde bu ifade genellikle doğru bir gözlem olarak kabul edilir, çünkü $5$ tek istisnadır.
- B) 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir
- Asal sayılar listemize baktığımızda $2$ dışındaki tüm asal sayılar ($3, 5, 7, 11, \dots$) tek sayılardır. Çünkü $2$'den büyük herhangi bir çift sayı, $2$'ye bölüneceği için asal olamaz. Bu ifade doğrudur.
- C) 1'den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir
- Bu ifade, matematikte "Goldbach Sanısı" olarak bilinen ünlü bir önermedir. Bu sanı, $2$'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini belirtir (örneğin, $4 = 2+2$, $6 = 3+3$, $8 = 3+5$, $10 = 3+7$ veya $5+5$). Bu sanı, yüz milyarlarca sayı için bilgisayarlar aracılığıyla doğrulanmış olsa da, matematiksel olarak henüz kanıtlanmamıştır. Yani, bu bir "sanı"dır, kesinleşmiş bir "teorem" veya "gözlem" değildir. Kanıtlanmamış bir ifadeyi kesin bir gerçekmiş gibi sunmak, matematiksel olarak yanlış bir gözlemdir.
- D) 30'dan büyük tüm asal sayıların son basamağı 1, 3, 7 veya 9'dur
- 30'dan büyük asal sayılar listemiz: $31, 37, 41, 43, 47$. Bu sayıların son basamakları sırasıyla $1, 7, 1, 3, 7$'dir. Görüldüğü gibi, hepsi $1, 3, 7$ veya $9$ rakamlarından biridir. Bunun nedeni, $5$'ten büyük bir asal sayının son basamağının $0, 2, 4, 6, 8$ (çift sayılar) veya $5$ olamayacağıdır. Çünkü bu rakamlarla biten sayılar $2$'ye veya $5$'e bölünebilir ve dolayısıyla asal olamazlar. Bu ifade doğrudur.
Seçenekleri incelediğimizde, A, B ve D seçeneklerindeki gözlemler doğru veya doğru kabul edilebilirken, C seçeneğindeki ifade (Goldbach Sanısı) henüz kanıtlanmamış bir önerme olduğu için kesin bir doğru gözlem olarak kabul edilemez. Bu nedenle, yanlış olan gözlem C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
