10. Sınıf Tema 1: Geometrik Şekiller Test 1

Koordinat düzleminde A(2,3), B(5,7) ve C(9,1) noktaları veriliyor. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 12
B) 15
C) 18
D) 20

Koordinat düzleminde verilen üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanını bulmak için "determinant yöntemi" veya "ayakkabı bağı formülü" olarak bilinen bir formülü kullanırız. Bu formül, üçgenin köşelerinin koordinatları bilindiğinde alanı kolayca hesaplamamızı sağlar.

Verilen noktalar:

• A$(x_1, y_1) = (2, 3)$
• B$(x_2, y_2) = (5, 7)$
• C$(x_3, y_3) = (9, 1)$

Üçgenin alanını hesaplamak için kullanacağımız formül şöyledir:

$Alan = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) |$

Şimdi adımları takip ederek hesaplamaları yapalım:

• Adım 1: İlk çarpımların toplamını hesaplayalım ($x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1$). $x_1y_2 = 2 \times 7 = 14$. $x_2y_3 = 5 \times 1 = 5$. $x_3y_1 = 9 \times 3 = 27$. Bu çarpımların toplamı: $14 + 5 + 27 = 46$.
• Adım 2: İkinci çarpımların toplamını hesaplayalım ($y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1$). $y_1x_2 = 3 \times 5 = 15$. $y_2x_3 = 7 \times 9 = 65$. $y_3x_1 = 1 \times 2 = 2$. Bu çarpımların toplamı: $15 + 65 + 2 = 82$.
• Adım 3: Formüldeki farkı ve mutlak değeri bulalım. Fark: $46 - 82 = -36$. Mutlak değer: $|-36| = 36$.
• Adım 4: Son olarak, mutlak değeri $2$'ye bölerek üçgenin alanını bulalım. $Alan = \frac{1}{2} \times 36 = 18$.

Buna göre, A(2,3), B(5,7) ve C(9,1) noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı $18$ birimkaredir.

Cevap C seçeneğidir.