Matematikte, eşlenik (veya eşlenik ifade), bir ifadeyi rasyonel hale getirmek (paydayı kökten kurtarmak) için kullandığımız çok özel ve kullanışlı bir araçtır.
İki terim toplamı veya farkı şeklindeki ifadelerde, eşlenik ifade, aynı iki terimin aralarındaki işaret değiştirilmiş halidir.
Köklü ifadelerde en sık karşılaştığımız eşlenik çifti:
Bu iki ifade birbirinin eşleniğidir. Örneğin:
Eşlenik ifadeleri birbiriyle çarptığımızda, ortadaki terimler birbirini götürür ve sonuç rasyonel bir sayı olur. Bu işleme paydayı rasyonel yapma denir.
İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \)
Eşlenik ifadeler de aslında bu formüle uyar. Eğer \( x = a \) ve \( y = \sqrt{b} \) olursa:
\( (a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b \)
Gördüğün gibi, sonuçta köklü ifade kalmadı. İşte eşleniğin sihri ve en önemli kullanım alanı budur.
\( \frac{4}{1 + \sqrt{3}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.
Adım 1: Paydanın eşleniğini bul. Payda \( 1 + \sqrt{3} \) olduğu için eşleniği \( 1 - \sqrt{3} \)'tür.
Adım 2: Kesrin hem payını hem de paydasını, paydanın eşleniği olan \( 1 - \sqrt{3} \) ile çarp. (Bir kesri 1 ile çarpmak değerini değiştirmez.)
\( \frac{4}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{4(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \)
Adım 3: Paydayı iki kare farkı formülüyle hesapla.
\( = \frac{4(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4(1 - \sqrt{3})}{-2} \)
Adım 4: Sadeleştir.
\( = -2(1 - \sqrt{3}) = -2 + 2\sqrt{3} \)
Artık paydada köklü bir ifade kalmadı. İşlem tamamlandı!
Soru 1: Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{5} - \sqrt{3} \) cm olan karenin alanını hesaplayabilmek için, ifadeyi paydası rasyonel hale getirilmiş şekilde yazmamız gerekmektedir. Buna göre, \( \sqrt{5} - \sqrt{3} \) ifadesinin eşleniği ile çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( 2 \)
b) \( \sqrt{15} \)
c) \( 8 \)
d) \( 5 - 3 \)
e) \( 2\sqrt{15} \)
Cevap: a) \( 2 \)
Çözüm: Bir ifadenin eşleniği, toplama veya çıkarma işlemiyle ayrılmış iki terimli bir köklü ifadede, işaretin değiştirilmiş halidir. \( \sqrt{5} - \sqrt{3} \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{5} + \sqrt{3} \)'tür. İki kare farkı özdeşliğinden: \( (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \) sonucuna ulaşılır.
Soru 2: \( \frac{7}{2\sqrt{6} - 5} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapmak için aşağıdaki eşleniklerden hangisi ile genişletme yapılmalıdır ve işlem sonucunda paydanın değeri ne olur?
a) \( 2\sqrt{6} + 5 \), Payda: -1
b) \( 2\sqrt{6} - 5 \), Payda: 24
c) \( 5 - 2\sqrt{6} \), Payda: 1
d) \( \sqrt{6} + 5 \), Payda: 31
e) \( 2\sqrt{6} + 5 \), Payda: 1
Cevap: a) \( 2\sqrt{6} + 5 \), Payda: -1
Çözüm: Paydayı rasyonel yapmak için, paydanın eşleniği olan \( 2\sqrt{6} + 5 \) ile payı ve paydayı çarparız. Paydanın değeri, iki kare farkı özdeşliği ile bulunur: \( (2\sqrt{6} - 5)(2\sqrt{6} + 5) = (2\sqrt{6})^2 - (5)^2 = (4 \times 6) - 25 = 24 - 25 = -1 \).
Soru 3: \( a = \sqrt{7} + 2 \) ve \( b = \sqrt{7} - 2 \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımının sonucu kaçtır?
a) \( 3 \)
b) \( \sqrt{7} \)
c) \( 4\sqrt{7} \)
d) \( 11 \)
e) \( 2\sqrt{7} \)
Cevap: a) \( 3 \)
Çözüm: \( a \) ve \( b \) birbirinin eşleniğidir. İki kare farkı özdeşliği uygulanır: \( a \cdot b = (\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = (\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3 \).
