10. Sınıf Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler

Question

Bu konuda kenarortay, açıortay ve yüksekliğin özelliklerini karıştırıyorum. Özellikle bir üçgende bu elemanların hangi durumlarda eşit uzunlukta olduğu ve nasıl kesiştikleri kafamı karıştırıyor. Ağırlık merkezi, diklik merkezi gibi kavramların formüllerini uygulamakta zorlanıyorum.

Answer 1

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bir üçgenin kenarları ve açıları dışında, çeşitli problemlerin çözümünde bize yardımcı olan özel doğru parçaları vardır. Bunlara yardımcı elemanlar denir. En önemlileri kenarortay, açıortay ve yüksekliktir.

1. Kenarortay (Ağırlık Merkezi)

Bir üçgende bir köşeyi, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

• Bir üçgenin üç kenarortayı vardır.
• Kenarortaylar bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir.
• Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı tepe noktasına 2 birim, kenara 1 birim olacak şekilde iki parçaya böler.

Örneğin, A köşesinden çizilen kenarortay \( V_a \) olsun. Ağırlık merkezi G ise: \( |AG| = 2|GV_a| \) veya \( |AG| : |GV_a| = 2:1 \) olur.

2. Açıortay

Bir üçgende bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen ve karşı kenara uzanan doğru parçasına iç açıortay denir.

• Bir üçgenin üç iç açıortayı vardır.
• İç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
• Açıortay Teoremi: Bir açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

Örneğin, A köşesinden çizilen açıortay [BC] kenarını D noktasında kessin: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)

3. Yükseklik

Bir üçgende bir köşeden, karşı kenara (veya onun uzantısına) dik olarak inilen doğru parçasına yükseklik denir.

• Bir üçgenin üç yüksekliği vardır.
• Yükseklikler bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
• Diklik merkezi; dar açılı üçgenlerde üçgenin içinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışında yer alır.

Yardımcı Elemanlar Arasındaki İlişkiler

• İkizkenar Üçgende: Taban açıları eşit olan bir ikizkenar üçgende, tepe noktasından çizilen;
  • Kenarortay aynı zamanda
  • Açıortay ve
  • Yüksekliktir.
  Yani bu üç yardımcı eleman çakışıktır.
• Eşkenar Üçgende: Tüm kenarları ve açıları eşit olduğu için, bir köşeden çizilen kenarortay, açıortay ve yükseklik hep çakışıktır. Ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve diklik merkezi aynı noktadır.

Bir üçgende, farklı köşelerden çizilen yardımcı elemanlar genellikle farklı

Answer 2

10. Sınıf Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde, kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezi G noktasıdır. |AG| = 12 cm olduğuna göre, bu kenarortayın A köşesinden G noktasına kadar olan kısmının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4   b) 6   c) 8   d) 9   e) 10
Cevap: c) 8
Çözüm: Bir kenarortay, ağırlık merkezi tarafından 2'ye 1 oranında bölünür. Köşeye daha yakın olan kısım, kenarortayın toplam uzunluğunun 2/3'üdür. |AG| = 12 cm ise, bu zaten köşeye yakın olan 2 birimlik kısımdır. Bu durumda kenarortayın tamamı (12 / 2) * 3 = 18 cm'dir. A köşesinden G noktasına olan mesafe sorulduğu ve bu da |AG| = 12 cm olarak verildiği için soruda bir çeldirici yoktur. Ancak seçenekler ve verilen değer düşünüldüğünde, |AG|'nin 12 cm olarak verilip "bu kenarortayın A köşesinden G noktasına kadar olan kısmı" ifadesiyle yine |AG| sorulmaktadır. Bu nedenle cevap 12 cm olmalı gibi görünebilir fakat 12 cm seçeneklerde yoktur. Bu durumda sorunun orijinalinde |AG| = 12 cm değil, kenarortayın tamamı 12 cm olmalıdır. Kenarortayın tamamı 12 cm ise, |AG| = (2/3)*12 = 8 cm olur. Seçenekler ve mantık hatası göz önüne alındığında çözüm bu şekildedir.

Soru 2: Bir ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I'dır. m(∠ABC) = 50° ve m(∠BCA) = 70° olduğuna göre, m(∠BIC) kaç derecedir?
a) 105   b) 110   c) 115   d) 120   e) 125
Cevap: d) 120
Çözüm: İç teğet çemberin merkezi (iç açıortayların kesişim noktası) olan I noktası için, m(∠BIC) = 90° + (m(∠A)/2) formülü kullanılır. Verilen açılara göre, m(∠A) = 180° - (50° + 70°) = 60°'dir. Formülde yerine koyarsak: m(∠BIC) = 90° + (60°/2) = 90° + 30° = 120° bulunur.

Soru 3: Bir ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait açıortaydır. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 18 cm olduğuna göre, |BD| uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6,4   b) 7,2   c) 8   d) 9   e) 10,8
Cevap: b) 7,2
Çözüm: Açıortay teoremine göre, bir açıortayın kendi kenarında ayırdığı parçaların oranı, diğer iki kenarın oranına eşittir. Yani |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 10/15 = 2/3'tür. |BD| = 2k ve |DC| = 3k dersek, |BC| = |BD| + |DC| = 5k = 18 cm olur. Buradan k = 18/5 = 3,6 cm bulunur. |BD| = 2k = 2 * 3,6 = 7,2 cm'dir.

Answer 3

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bir üçgeni oluşturan kenarlar ve açıların yanı sıra, üçgenle ilgili problemleri çözmemize yardımcı olan bazı özel doğru parçaları vardır. Bunlara yardımcı elemanlar denir. Bu elemanlar; kenarortay, açıortay ve yüksekliktir.

1. Kenarortay (Medyan)

Bir üçgende bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

• Her üçgenin 3 kenarortayı vardır.
• Bu üç kenarortay bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir.
• Ağırlık merkezi, her kenarortayı kendisine 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler. Yani, bir kenarortay üzerinde: \( |AG| = 2|GD| \) bağıntısı vardır.

2. Açıortay (Açıortay)

Bir üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya bölen ve karşı kenara kadar uzanan doğru parçasına iç açıortay denir.

• Her üçgenin 3 iç açıortayı vardır.
• Bu üç iç açıortay bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin iç teğet çemberinin merkezi denir ve genellikle I harfi ile gösterilir.
• Açıortay Teoremi: Bir açıortay, karşı kenarı, komşu kenarlarla orantılı parçalara böler. \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)

3. Yükseklik

Bir üçgende bir köşeden, karşı kenara (veya bu kenarın uzantısına) çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

• Her üçgenin 3 yüksekliği vardır.
• Bu üç yükseklik bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
• Diklik merkezi, dar açılı üçgenlerde üçgenin iç bölgesinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışındadır.

Yardımcı Elemanlar Arasındaki İlişkiler

• Kenarortay ve Ağırlık Merkezi: Ağırlık merkezi, üçgenin alanını 6 eşit parçaya böler. Ağırlık merkezinden kenarlara çizilen paralel doğrular, üçgeni alanları eşit 3 bölgeye ayırır.
• Açıortay ve İç Teğet Çember Merkezi: İç teğet çemberin merkezi (I), üçgenin iç bölgesindeki her noktadan kenarlara olan dik uzaklıkların eşit olduğu tek noktadır.
• Yükseklik ve Alan: Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. \( A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)
• Özel Üçgenler: İkizkenar üçgende tabana ait kenarortay, açıortay ve yükseklik çakışıktır. Eşkenar üçgende ise tüm kenarortay, açı