Bir proton manyetik alan içinde manyetik kuvvet etkisiyle dairesel hareket yapmaktadır. Protonun yükü +e, manyetik alan şiddeti B, hızı v ve yarıçapı r olduğuna göre, protonun kütlesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) $\frac{eBr}{v}$
B) $\frac{eBv}{r}$
C) $\frac{v}{eBr}$
D) $\frac{r}{eBv}$
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir protonun manyetik alan içindeki hareketini inceleyerek kütlesini bulacağız. Dairesel hareket yapan bir cisim için manyetik kuvvetin merkezcil kuvvet görevi gördüğünü unutmayalım. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, manyetik alan içinde hareket eden bir yüklü parçacığa etki eden manyetik kuvvetin (Lorentz kuvveti) formülünü hatırlayalım. Protonun yükü $q = +e$, hızı $v$ ve manyetik alan şiddeti $B$ olduğuna göre, manyetik kuvvet $F_B = qvB\sin\theta$ şeklinde ifade edilir. Proton manyetik alan içinde dairesel hareket yaptığına göre, hız vektörü manyetik alana diktir ($\theta = 90^\circ$). Bu durumda $\sin90^\circ = 1$ olacağından, manyetik kuvvetin büyüklüğü $F_B = evB$ olur.
- Dairesel hareket yapan bir cisme etki eden merkezcil kuvvetin formülünü hatırlayalım. Kütlesi $m$, hızı $v$ ve yörünge yarıçapı $r$ olan bir cisim için merkezcil kuvvet $F_C = \frac{mv^2}{r}$ şeklinde ifade edilir.
- Protonun manyetik alan içinde dairesel hareket yapmasını sağlayan kuvvet, manyetik kuvvettir. Yani manyetik kuvvet, merkezcil kuvvet görevini üstlenmektedir. Bu nedenle, bu iki kuvveti birbirine eşitleyebiliriz:
$F_B = F_C$
$evB = \frac{mv^2}{r}$
- Şimdi bu denklemden protonun kütlesi $m$'yi çekelim. Denklemin her iki tarafını $r$ ile çarparsak:
$evBr = mv^2$
- Denklemin her iki tarafını $v^2$ ile bölersek $m$ yalnız kalır:
$m = \frac{evBr}{v^2}$
- Denklemi sadeleştirelim. Pay ve paydadaki $v$ terimlerinden birini götürürsek:
$m = \frac{eBr}{v}$
- Bu sonuç, protonun kütlesini manyetik alan şiddeti $B$, yükü $e$, yarıçapı $r$ ve hızı $v$ cinsinden ifade eder.
Cevap A seçeneğidir.
