\( x \) bir reel sayı olmak üzere \( x^2 + 4 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \{-2, 2\} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir denklemin çözüm kümesini reel sayılar kümesinde bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle verilen denklemi yazalım: $x^2 + 4 = 0$.
Denklemde $x^2$ terimini yalnız bırakmak için $+4$ sayısını eşitliğin diğer tarafına atalım. Bu durumda işaret değiştirerek geçer:
$x^2 = -4$
Şimdi bu denklemi inceleyelim. Bizden $x$'in bir reel sayı olduğu belirtiliyor. Reel sayılar kümesinde, herhangi bir sayının karesi (yani kendisiyle çarpımı) her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır. Yani, $x$ bir reel sayı ise $x^2 \ge 0$ olmak zorundadır.
Ancak bizim denklemimizde $x^2 = -4$ sonucunu bulduk. $-4$ sayısı sıfırdan küçüktür. Bu durum, $x^2 \ge 0$ kuralıyla çelişmektedir.
Bu çelişki bize şunu gösterir: Reel sayılar kümesinde karesi $-4$ olan hiçbir sayı yoktur. Başka bir deyişle, bu denklemi sağlayan hiçbir reel sayı $x$ bulunmamaktadır.
Dolayısıyla, denklemin reel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir. Boş küme $\emptyset$ sembolü ile gösterilir.
Seçeneklere baktığımızda, C seçeneği boş kümeyi ($ \emptyset $) temsil etmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
