Kartezyen çarpım eleman sayısı Test 1

P = {2, 4, 6} ve R = {1, 3, 5, 7} kümeleri veriliyor. P × R kartezyen çarpım kümesinin elemanları arasından rastgele bir (a, b) ikilisi seçiliyor. a + b toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 5/6

Sevgili öğrenciler, bu olasılık sorusunu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Adım 1: Verilen kümeleri ve eleman sayılarını belirleyelim.

  P kümesi: $P = \{2, 4, 6\}$

  P kümesinin eleman sayısı: $n(P) = 3$

  R kümesi: $R = \{1, 3, 5, 7\}$

  R kümesinin eleman sayısı: $n(R) = 4$

• Adım 2: P × R kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulalım.

  P × R kartezyen çarpım kümesi, P kümesinden bir eleman ($a$) ve R kümesinden bir eleman ($b$) alınarak oluşturulan tüm $(a, b)$ sıralı ikililerinin kümesidir.

  Bu kümenin eleman sayısı, P ve R kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir:

  $n(P \times R) = n(P) \times n(R) = 3 \times 4 = 12$

  Bu, rastgele seçilebilecek toplam ikili sayısını, yani tüm olası durumların sayısını verir.

• Adım 3: $a + b$ toplamının tek sayı olma koşulunu inceleyelim.

  İki sayının toplamının tek sayı olması için, sayılardan birinin tek, diğerinin ise çift olması gerekir. Şunları hatırlayalım:

  Tek + Tek = Çift

  Çift + Çift = Çift

  Tek + Çift = Tek

  Çift + Tek = Tek

  Şimdi P ve R kümelerindeki elemanların tek mi çift mi olduğuna bakalım:

  P kümesindeki elemanlar: $P = \{2, 4, 6\}$. Gördüğümüz gibi, P kümesindeki tüm elemanlar çift sayılardır.

  R kümesindeki elemanlar: $R = \{1, 3, 5, 7\}$. Gördüğümüz gibi, R kümesindeki tüm elemanlar tek sayılardır.

• Adım 4: İstenen koşulu sağlayan $(a, b)$ ikililerini belirleyelim.

  Bizden $a + b$ toplamının tek sayı olması isteniyor. Bunun için $a$ ve $b$ sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır.

  Seçilen $(a, b)$ ikilisinde:

  $a \in P$ olduğu için, $a$ her zaman çift bir sayıdır.

  $b \in R$ olduğu için, $b$ her zaman tek bir sayıdır.

  Dolayısıyla, P × R kümesinden seçilen her $(a, b)$ ikilisi için, $a$ çift ve $b$ tek olacaktır. Bu durumda $a + b$ toplamı her zaman Çift + Tek = Tek olacaktır.

  Yani, P × R kümesindeki tüm ikililer, $a + b$ toplamının tek sayı olma koşulunu sağlar.

  İstenen durumların sayısı = $n(P \times R) = 12$

• Adım 5: Olasılığı hesaplayalım.

  Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranına eşittir.

  Olasılık = $\frac{\text{İstenen durumların sayısı}}{\text{Tüm olası durumların sayısı}}$

  Olasılık = $\frac{12}{12} = 1$

  Bu durumda, seçilen ikilinin $a+b$ toplamının tek sayı olma olasılığı $1$'dir. Bu, olayın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelir.

Cevap A seçeneğidir.