Bir uzay araştırmacısı, Dünya ile aynı dönme periyoduna sahip ancak yarıçapı Dünya'nın yarıçapının iki katı olan bir gezegen keşfediyor.
Bu gezegenin ekvatorunda ve kutuplarındaki çizgisel hız karşılaştırması için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Her iki gezegende de çizgisel hız aynıdır
B) Yeni gezegende ekvator ile kutuplar arasındaki çizgisel hız farkı daha azdır
C) Yeni gezegende ekvator ile kutuplar arasındaki çizgisel hız farkı daha fazladır
D) Yeni gezegende kutuplardaki çizgisel hız sıfır değildir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için dönme hareketindeki çizgisel hız kavramını ve gezegenlerin yapısını anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Çizgisel Hız Nedir ve Nasıl Hesaplanır?
- Bir cisim kendi ekseni etrafında dönerken, üzerindeki her noktanın bir çizgisel hızı (dönme hızı) vardır. Bu hız, dönme ekseninden uzaklığa bağlıdır.
- Çizgisel hız ($v$), açısal hız ($\omega$) ve dönme eksenine olan dik uzaklığın ($r$) çarpımıyla bulunur: $v = \omega r$.
- Açısal hız ($\omega$), dönme periyodu ($T$) ile ilişkilidir: $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Soruya göre, her iki gezegenin dönme periyodu aynı olduğu için açısal hızları da aynıdır. Yani, $\omega_{yeni} = \omega_{Dünya}$.
- 2. Kutuplardaki Çizgisel Hız
- Gezegenlerin kutupları, dönme ekseninin tam üzerindedir.
- Bu nedenle, kutuplardaki herhangi bir noktanın dönme eksenine olan dik uzaklığı ($r$) sıfırdır.
- Formülü uyguladığımızda: $v_{kutup} = \omega \times 0 = 0$.
- Yani, hem Dünya'da hem de yeni keşfedilen gezegende kutuplardaki çizgisel hız sıfırdır. Bu bilgi, D seçeneğinin yanlış olduğunu gösterir.
- 3. Ekvatordaki Çizgisel Hız
- Ekvator üzerindeki noktalar, dönme eksenine en uzak noktalardır.
- Bu uzaklık, gezegenin yarıçapına ($R$) eşittir.
- Formülü uyguladığımızda: $v_{ekvator} = \omega R$.
- 4. Ekvator ile Kutuplar Arasındaki Çizgisel Hız Farkı
- Bu farkı bulmak için ekvatordaki çizgisel hızdan kutuplardaki çizgisel hızı çıkarırız:
- $\Delta v = v_{ekvator} - v_{kutup} = \omega R - 0 = \omega R$.
- Bu fark, gezegenin açısal hızı ($\omega$) ve yarıçapı ($R$) ile doğru orantılıdır.
- 5. Dünya İçin Durum
- Dünya'nın yarıçapına $R_{Dünya}$ diyelim.
- Dünya'nın açısal hızına $\omega_{Dünya}$ diyelim.
- Dünya'da ekvator ile kutuplar arasındaki çizgisel hız farkı: $\Delta v_{Dünya} = \omega_{Dünya} R_{Dünya}$.
- 6. Yeni Gezegen İçin Durum
- Soruda belirtildiği gibi, yeni gezegenin dönme periyodu Dünya ile aynıdır. Bu da açısal hızlarının aynı olduğu anlamına gelir: $\omega_{yeni} = \omega_{Dünya}$.
- Yeni gezegenin yarıçapı, Dünya'nın yarıçapının iki katıdır: $R_{yeni} = 2 R_{Dünya}$.
- Yeni gezegende ekvator ile kutuplar arasındaki çizgisel hız farkı: $\Delta v_{yeni} = \omega_{yeni} R_{yeni} = \omega_{Dünya} (2 R_{Dünya})$.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $\Delta v_{yeni} = 2 (\omega_{Dünya} R_{Dünya})$.
- 7. Karşılaştırma ve Sonuç
- Yukarıdaki adımlardan, $\Delta v_{yeni} = 2 \times \Delta v_{Dünya}$ olduğunu görüyoruz.
- Bu, yeni gezegende ekvator ile kutuplar arasındaki çizgisel hız farkının, Dünya'dakinin iki katı olduğu anlamına gelir. Yani, yeni gezegende bu fark daha fazladır.
- Bu sonuç, C seçeneği ile uyumludur.
Cevap C seçeneğidir.
