1. A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R} ve B = {x | 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {x | -2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
B) {x | -2 ≤ x < 5, x ∈ R}
C) {x | 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
D) {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R}
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı kümenin birleşimini ($A \cup B$) bulmamız isteniyor. Kümelerimiz, belirli aralıklardaki gerçek sayılardan oluşuyor. Adım adım bu işlemi nasıl yapacağımızı inceleyelim:
- Kümeleri Anlayalım:
- Öncelikle verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim.
- $A = \{x | -2 \leq x < 3, x \in R\}$ kümesi, $-2$'ye eşit veya $-2$'den büyük, aynı zamanda $3$'ten küçük olan tüm gerçek sayıları içerir. Bu kümeyi aralık gösterimiyle $[-2, 3)$ şeklinde yazabiliriz. Burada köşeli parantez, sınır değerin kümeye dahil olduğunu, normal parantez ise sınır değerin kümeye dahil olmadığını gösterir.
- $B = \{x | 1 \leq x \leq 5, x \in R\}$ kümesi, $1$'e eşit veya $1$'den büyük, aynı zamanda $5$'e eşit veya $5$'ten küçük olan tüm gerçek sayıları içerir. Bu kümeyi aralık gösterimiyle $[1, 5]$ şeklinde yazabiliriz.
- Birleşim İşlemini ($A \cup B$) Anlayalım:
- İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Yani, $A$'da olan, $B$'de olan veya her ikisinde de olan tüm sayıları bir araya getiririz.
- Sayı doğrusu üzerinde düşündüğümüzde, $A$ kümesinin kapladığı aralık ile $B$ kümesinin kapladığı aralığı birleştirdiğimizde, ortaya çıkan en geniş aralığı bulmamız gerekir.
- Sayı Doğrusunda Aralıkları Birleştirelim:
- $A$ kümesi $[-2, 3)$ aralığını kapsar.
- $B$ kümesi $[1, 5]$ aralığını kapsar.
- Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en küçük değer $-2$ (A kümesinden gelir) ve en büyük değer $5$ (B kümesinden gelir) olacaktır.
- $-2$ değeri $A$ kümesine dahil olduğu için birleşim kümesine de dahil olacaktır.
- $5$ değeri $B$ kümesine dahil olduğu için birleşim kümesine de dahil olacaktır.
- Aralıklar çakıştığı veya birbirini takip ettiği için (yani $A$'nın bitiş noktası $3$ ve $B$'nin başlangıç noktası $1$ arasında boşluk olmadığı için), tüm aralık kesintisiz bir şekilde birleşecektir.
- Birleşim Kümesini Oluşturalım:
- Yukarıdaki adımlara göre, birleşim kümesinin en küçük elemanı $-2$ (dahil) ve en büyük elemanı $5$ (dahil) olacaktır.
- Bu durumda $A \cup B$ kümesi, $-2$'ye eşit veya $-2$'den büyük, aynı zamanda $5$'e eşit veya $5$'ten küçük olan tüm gerçek sayıları içerir.
- Bu kümeyi set-builder (küme kurucu) gösterimiyle $\{x | -2 \leq x \leq 5, x \in R\}$ şeklinde ifade ederiz.
- Aralık gösterimiyle ise $[-2, 5]$ şeklinde yazılır.
- Seçeneklerle Karşılaştıralım:
- Bulduğumuz sonuç olan $\{x | -2 \leq x \leq 5, x \in R\}$ seçeneği, A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
