Bir küpün iki komşu yüzünün köşegenleri arasındaki açı kaç derecedir?
A) 30Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Geometri sorularında şekil çizmek her zaman işimizi kolaylaştırır. Hadi başlayalım!
Öncelikle bir küp çizelim. Küpün iki komşu yüzeyini ve bu yüzeylerin köşegenlerini çizerek soruyu görselleştirelim. Köşegenleri çizdiğimizde, bu köşegenler arasında bir açı oluştuğunu göreceğiz. Bizden istenen bu açının kaç derece olduğunun bulunması.
Çizdiğimiz köşegenler ve küpün bir kenarı bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin kenar uzunluklarını belirlemeye çalışalım. Küpün bir kenar uzunluğuna $a$ diyelim. Bu durumda, köşegenlerin uzunluğu (kare olduğu için) $a\sqrt{2}$ olacaktır. Yani, üçgenimizin iki kenarı $a\sqrt{2}$ uzunluğunda ve bir kenarı $a$ uzunluğundadır.
Üçgenin kenar uzunluklarına baktığımızda, ikizkenar bir üçgen olduğunu görüyoruz. Şimdi bu üçgenin açısını bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanalım. Kosinüs Teoremi: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\theta)$
Bizim durumumuzda: $a^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot cos(\theta)$
Denklemi basitleştirelim:
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 - 4a^2 \cdot cos(\theta)$
$a^2 = 4a^2 - 4a^2 \cdot cos(\theta)$
$4a^2 \cdot cos(\theta) = 3a^2$
$cos(\theta) = \frac{3a^2}{4a^2} = \frac{3}{4}$
$cos(\theta) = \frac{3}{4}$
Burada bir hata yaptık. Üçgenin kenarları $a$, $a\sqrt{2}$ ve $a\sqrt{2}$ uzunluğunda. Kosinüs teoremini doğru uygulayalım:
$(a\sqrt{2})^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a \cdot (a\sqrt{2}) \cdot cos(\theta)$
$2a^2 = a^2 + 2a^2 - 2\sqrt{2}a^2 \cdot cos(\theta)$
$2a^2 = 3a^2 - 2\sqrt{2}a^2 \cdot cos(\theta)$
$2\sqrt{2}a^2 \cdot cos(\theta) = a^2$
$cos(\theta) = \frac{a^2}{2\sqrt{2}a^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
Bu da bir hata. Üçgenin kenarları $a$, $a\sqrt{2}$ ve $a\sqrt{2}$ değil. İki köşegen ve bir kenar bir eşkenar üçgen oluşturur. Bu durumda bütün kenarlar $a\sqrt{2}$ olur.
Bu durumda açımız 60 derecedir.
Cevap C seçeneğidir.
