Bu soruda, bir fonksiyonun türevi verildiğinde, o fonksiyonun kendisini (yani integralini) bulmamız isteniyor. Türev ve integral, birbirinin tersi işlemlerdir. Tıpkı toplama ve çıkarma gibi düşünebilirsiniz.
- Adım 1: Soruyu Anlamak
- Soruda bize verilen bilgi şudur: Bir $f(x)$ fonksiyonunun türevi, yani $f'(x)$, $4x^3$ olarak verilmiş. Bizden istenen ise bu $f(x)$ fonksiyonunun kendisi, yani $4x^3$ ifadesinin belirsiz integrali.
- Adım 2: Temel İntegral Kurallarını Hatırlamak
- Bir polinom fonksiyonunun integralini alırken kullandığımız temel kural şudur: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (Burada $n \neq -1$ olmalı.)
- Bir sabitin (katsayının) integral dışına alınması kuralı: $\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$.
- İntegral sabiti $C$: Belirsiz integral aldığımızda, türevi sıfır olan herhangi bir sabit sayı olabileceği için her zaman bir $+C$ eklemeyi unutmayız.
- Adım 3: İntegral Alma İşlemini Uygulamak
- Şimdi $4x^3$ ifadesinin integralini alalım: $\int 4x^3 dx$.
- Önce sabiti dışarı alalım: $4 \int x^3 dx$.
- Şimdi $x^3$ ifadesine $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ kuralını uygulayalım. Burada $n=3$.
- $\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
- Bu sonucu baştaki katsayı ile çarpalım ve integral sabitini ekleyelim: $4 \cdot \frac{x^4}{4} + C$.
- Sadeleştirmeyi yapalım: $x^4 + C$.
- Adım 4: Sonucu Kontrol Etmek (İsteğe Bağlı ama Çok Faydalı!)
- Bulduğumuz $x^4 + C$ fonksiyonunun türevini alarak doğru yolda olup olmadığımızı kontrol edebiliriz: $\frac{d}{dx}(x^4 + C)$.
- $x^4$'ün türevi $4x^{4-1} = 4x^3$'tür.
- Sabit $C$'nin türevi $0$'dır.
- Yani $\frac{d}{dx}(x^4 + C) = 4x^3$. Bu da bize soruda verilen türev ifadesiyle aynıdır. Demek ki doğru integrali bulduk!
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırmak
- Bulduğumuz sonuç olan $x^4 + C$ ifadesi, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
