Bu soruda, $6a4b$ dört basamaklı sayısının hem 5 hem de 11 ile tam bölünebilmesi koşulunu inceleyeceğiz. Ardından $a$'nın alabileceği değerleri bulup çarpımını hesaplayacağız.
- Adım 1: 5 ile Bölünebilme Kuralı
- Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının (birler basamağının) 0 veya 5 olması gerekir.
- Bu durumda, $6a4b$ sayısının son rakamı olan $b$ için iki olası değer vardır: $b=0$ veya $b=5$.
- Adım 2: 11 ile Bölünebilme Kuralı
- Bir sayının 11 ile tam bölünebilmesi için, sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla birer atlayarak toplanır ve çıkarılır. Elde edilen sonucun 0 veya 11'in bir katı olması gerekir.
- $6a4b$ sayısı için bu kuralı uygulayalım:
- $(b - 4 + a - 6)$ ifadesinin 11'in bir katı olması gerekir.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $(b + a - 10)$ ifadesi 11'in bir katı olmalıdır. Yani, $b + a - 10 = 11k$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
- $a$ ve $b$ birer rakam olduğu için $0 \le a \le 9$ ve $0 \le b \le 9$ olmalıdır.
- Bu durumda, $a+b$ toplamı en az $0+0=0$ ve en fazla $9+9=18$ olabilir.
- Dolayısıyla, $b+a-10$ ifadesinin alabileceği değer aralığı:
- Minimum değer: $0 - 10 = -10$
- Maksimum değer: $18 - 10 = 8$
- Yani, $b+a-10$ ifadesi $[-10, 8]$ aralığında olmalıdır.
- Bu aralıkta 11'in katı olan tek sayı 0'dır.
- Bu nedenle, $b+a-10 = 0$ olmak zorundadır.
- Buradan $b+a = 10$ sonucuna ulaşırız.
- Adım 3: $a$ değerlerini bulma
- Şimdi, 5 ile bölünebilme kuralından elde ettiğimiz $b$ değerlerini ($b=0$ ve $b=5$) ve 11 ile bölünebilme kuralından elde ettiğimiz $b+a=10$ koşulunu birleştirelim:
- Durum 1: Eğer $b=0$ ise,
- $0+a=10 \implies a=10$.
- Ancak $a$ bir rakam olmalıdır (0 ile 9 arasında). $a=10$ bir rakam değildir. Bu nedenle bu durumdan geçerli bir $a$ değeri gelmez.
- Durum 2: Eğer $b=5$ ise,
- $5+a=10 \implies a=5$.
- $a=5$ bir rakamdır ve geçerli bir değerdir.
- Bu durumda, $6a4b$ sayısı $6545$ olur. Kontrol edelim:
- $6545$ sayısı 5 ile bölünür (sonu 5).
- $6545$ sayısı 11 ile bölünür ($5-4+5-6 = 0$).
- Yani, $a=5$ tek geçerli değerdir.
- Adım 4: $a$'nın alabileceği değerler çarpımını hesaplama
- $a$'nın alabileceği tek değer $5$'tir.
- Bu durumda, $a$'nın alabileceği değerler çarpımı $5$'tir.
Cevap C seçeneğidir.
