\(h(x) = \int_{\pi}^{x} \sin(t) \, dt\) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \(h'(\frac{\pi}{2})\) değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) -1
D) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli bir integral şeklinde tanımlanmış bir fonksiyonun türevini almamız ve ardından belirli bir noktadaki değerini bulmamız isteniyor. Bu tür sorular, Kalkülüs'ün Temel Teoremi'nin birinci kısmını anlamamızı gerektirir. Haydi adım adım çözelim:
- Adım 1: Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ni Hatırlayalım
- Kalkülüs'ün Temel Teoremi'nin birinci kısmı bize şunu söyler: Eğer bir $F(x)$ fonksiyonu, $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ şeklinde tanımlanmışsa, bu fonksiyonun türevi $F'(x) = f(x)$ olur. Burada $a$ bir sabit sayıdır ve $f(t)$ sürekli bir fonksiyondur.
- Adım 2: Verilen Fonksiyonu İnceleyelim
- Bize verilen fonksiyon $h(x) = \int_{\pi}^{x} \sin(t) \, dt$.
- Burada $f(t) = \sin(t)$ ve alt sınır $a = \pi$ (bir sabit sayı). Üst sınır ise $x$'tir.
- Adım 3: $h(x)$ Fonksiyonunun Türevini Bulalım
- Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ni uygulayarak $h'(x)$'i kolayca bulabiliriz:
- $h'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{\pi}^{x} \sin(t) \, dt \right)$
- Teoreme göre, integralin içindeki fonksiyonu $t$ yerine $x$ yazarak doğrudan türevi elde ederiz:
- $h'(x) = \sin(x)$
- Adım 4: $h'(\frac{\pi}{2})$ Değerini Hesaplayalım
- Şimdi bulduğumuz $h'(x)$ ifadesinde $x$ yerine $\frac{\pi}{2}$ yazarak istenen değeri bulalım:
- $h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
- Adım 5: Sinüs Değerini Bulalım
- Trigonometriden bildiğimiz üzere, $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ değeri 1'e eşittir. ($\frac{\pi}{2}$ radyan 90 dereceye karşılık gelir ve $\sin(90^\circ) = 1$).
- Dolayısıyla, $h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın 1 olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
