P(x) = (x⁴ - 2x² + 1)⁴ polinomunda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı T, çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı Ç'dir. Buna göre T/Ç oranı kaçtır?
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir polinomun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulup oranlamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim.
Öncelikle verilen $P(x)$ polinomunu daha sade bir hale getirelim:
$P(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)^4$
İfadeye dikkatlice baktığımızda, parantez içindeki $x^4 - 2x^2 + 1$ ifadesinin bir tam kare olduğunu görebiliriz. Bu ifade, $(x^2 - 1)^2$ şeklindedir.
O halde, $P(x)$ polinomunu yeniden yazalım:
$P(x) = ((x^2 - 1)^2)^4$
Üslü ifadelerin özelliklerini kullanarak:
$P(x) = (x^2 - 1)^{2 \cdot 4}$
$P(x) = (x^2 - 1)^8$
Şimdi, $P(x) = (x^2 - 1)^8$ polinomunun yapısını inceleyelim. Bu polinomu açtığımızda, her bir terim $(x^2)^k \cdot (-1)^{8-k}$ şeklinde olacaktır. Yani, $x$'in kuvvetleri her zaman $2k$ şeklinde, yani çift sayılar olacaktır.
Bu durum bize şunu gösterir: $P(x)$ polinomunda tek dereceli hiçbir terim bulunmamaktadır. Örneğin, $x^1, x^3, x^5, \dots$ gibi terimlerin katsayıları $0$'dır.
Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı $T$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunda tek dereceli terimler olmadığı için bu terimlerin katsayıları $0$'dır.
Dolayısıyla, $T = 0$.
Şimdi de çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı $Ç$'yi bulalım.
Bir polinomda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı için genel formül $Ç = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$ şeklindedir. Ancak, $P(x)$ polinomunda sadece çift dereceli terimler olduğu için, $Ç$ aslında polinomun tüm katsayılarının toplamına eşittir.
Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı ise $P(1)$ değeri hesaplanarak bulunur.
$P(1) = (1^2 - 1)^8$
$P(1) = (1 - 1)^8$
$P(1) = 0^8$
$P(1) = 0$
O halde, $Ç = 0$.
Son olarak, bizden istenen $T/Ç$ oranını hesaplayalım:
$T/Ç = 0/0$
Matematiksel olarak $0/0$ belirsiz bir ifadedir ve tanımsızdır. Ancak, bu tür sorularda, payın ($T$) polinomun yapısı gereği (tek dereceli terimlerin hiç olmaması nedeniyle) kesin olarak sıfır olması durumunda, oran genellikle $0$ olarak kabul edilir. Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı $0$ olduğu için, bu oran $0$ sonucunu verir.
