Parabolün x eksenini kestiği noktalar (Denklemin kökleri) Test 1

f(x) = ax² + bx + c parabolü x eksenini (1,0) ve (5,0) noktalarında kesmektedir. Parabolün y eksenini kestiği nokta (0,10) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 12
B) 14
C) 16
D) 18

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir parabolün denklemini ve bazı noktalarını kullanarak katsayılar toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Parabolün Denklemini Kökler Cinsinden Yazma:

  Parabolün $x$ eksenini kestiği noktalar $(1,0)$ ve $(5,0)$ olarak verilmiş. Bu noktalar parabolün kökleridir. Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan bir parabolün denklemi genel olarak $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ şeklinde yazılabilir.

  Bu durumda, $x_1=1$ ve $x_2=5$ olduğuna göre, parabolün denklemi:

  $f(x) = a(x-1)(x-5)$

  şeklinde olur.

• 2. 'a' Katsayısını Bulma:

  Parabolün $y$ eksenini kestiği nokta $(0,10)$ olarak verilmiş. Bu, $x=0$ iken $f(x)=10$ olduğu anlamına gelir. Bu bilgiyi yukarıdaki denklemde yerine koyarak $a$ katsayısını bulabiliriz:

  $f(0) = a(0-1)(0-5)$

  $10 = a(-1)(-5)$

  $10 = 5a$

  $a = \frac{10}{5}$

  $a = 2$

• 3. Parabolün Tam Denklemini Bulma:

  Şimdi $a=2$ değerini parabol denkleminde yerine yazalım:

  $f(x) = 2(x-1)(x-5)$

  Parantez içindeki ifadeyi çarpalım:

  $(x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$

  Şimdi bu ifadeyi $2$ ile çarpalım:

  $f(x) = 2(x^2 - 6x + 5) = 2x^2 - 12x + 10$

• 4. a, b ve c Katsayılarını Belirleme:

  Bulduğumuz $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ denklemini, soruda verilen $f(x) = ax^2 + bx + c$ genel denklemiyle karşılaştıralım:

  • $a = 2$
  • $b = -12$
  • $c = 10$

• 5. a + b + c Toplamını Hesaplama:

  Son olarak, bizden istenen $a+b+c$ toplamını hesaplayalım:

  $a+b+c = 2 + (-12) + 10$

  $a+b+c = 2 - 12 + 10$

  $a+b+c = -10 + 10$

  $a+b+c = 0$

Cevap B seçeneğidir.