Parabolün x eksenini kestiği noktalar (Denklemin kökleri) Test 1

f(x) = x² - (k+1)x + 9 parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) -2
B) 0
C) 2
D) 4

Sevgili öğrenciler, bir parabolün x eksenine teğet olması durumu, parabolün denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir. Bu önemli bir kuraldır ve birçok problemde karşımıza çıkar. Şimdi bu bilgiyi kullanarak sorumuzu adım adım çözelim.

• Öncelikle, bize verilen parabol denklemini genel kuadratik denklem formu olan $ax^2 + bx + c = 0$ ile karşılaştıralım. Parabolümüz $f(x) = x^2 - (k+1)x + 9$ şeklindedir.
• Bu denklemde katsayıları belirleyelim:
  • $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
  • $b = -(k+1)$ (çünkü $x$'in katsayısı $-(k+1)$'dir)
  • $c = 9$ (sabit terim 9'dur)
• Bir parabolün x eksenine teğet olması için diskriminantının ($\Delta$) sıfıra eşit olması gerekir. Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.
• Şimdi bu katsayıları diskriminant formülünde yerine yazalım ve sıfıra eşitleyelim:

  $\Delta = (-(k+1))^2 - 4(1)(9) = 0$

• Denklemi basitleştirelim. Bir sayının eksisinin karesi, o sayının karesine eşittir, yani $(-(k+1))^2 = (k+1)^2$:

  $(k+1)^2 - 36 = 0$

• $-36$'yı eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $(k+1)^2 = 36$

• Bu denklemi çözmek için her iki tarafın karekökünü almalıyız. Unutmayın, bir sayının karesi 36 ise, o sayı hem pozitif 6 hem de negatif 6 olabilir. Bu bize $k$ için iki farklı değer verecektir:
• Birinci durum: $k+1 = 6$ ise, $k = 6 - 1 \Rightarrow k = 5$.
• İkinci durum: $k+1 = -6$ ise, $k = -6 - 1 \Rightarrow k = -7$.
• Bize sorulan, $k$'nin alabileceği değerler toplamıdır. Bulduğumuz $k$ değerlerini toplayalım:

  $5 + (-7) = -2$

Bu durumda, $k$'nin alabileceği değerler toplamı $-2$'dir.

Cevap A seçeneğidir.