Aynı meridyen üzerinde bulunan iki şehir arası uzaklık hesaplanırken, enlemin etkisi göz önüne alınır. $R$ Dünya'nın yarıçapı olmak üzere, $\phi$ enlemindeki paralel dairesinin yarıçapı $R\cos\phi$'dir. Buna göre 45° enlemindeki iki meridyen arası mesafe Ekvator'dakinin yaklaşık yüzde kaçıdır?
A) %50Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, Dünya üzerindeki coğrafi konumların ve mesafelerin nasıl hesaplandığını, özellikle de enlemin bu hesaplamalar üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. Meridyenler arası mesafenin Ekvator'dan kutuplara doğru gidildikçe nasıl değiştiğini anlamak için adım adım ilerleyelim.
Dünya üzerinde aynı meridyenler arasında, farklı enlemlerdeki mesafeler birbirinden farklıdır. Meridyenler kutuplarda birleşirken, Ekvator'da birbirlerinden en uzak konumdadırlar. Soru bize $\phi$ enlemindeki paralel dairesinin yarıçapının $R\cos\phi$ olduğunu söylüyor. Bu bilgi, meridyenler arası mesafeyi hesaplamamız için anahtarımız olacak.
İki meridyen arası mesafe, aslında o enlemdeki paralel dairesi üzerindeki bir yay parçasıdır. Eğer iki meridyen arasındaki açısal fark $\Delta\lambda$ ise, bu yay parçasının uzunluğu (mesafe) $L = r \cdot \Delta\lambda$ formülüyle bulunur, burada $r$ paralel dairesinin yarıçapıdır.
Ekvator, $0^\circ$ enlemindedir. Yani $\phi = 0^\circ$.
Ekvator'daki paralel dairesinin yarıçapı $r_{Ekvator} = R\cos0^\circ$'dir.
Trigonometrik bir değer olarak $\cos0^\circ = 1$ olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla, Ekvator'daki paralel dairesinin yarıçapı $r_{Ekvator} = R \cdot 1 = R$'dir.
Eğer iki meridyen arasındaki açısal fark $\Delta\lambda$ ise, Ekvator'daki bu iki meridyen arası mesafe $L_{Ekvator} = R \cdot \Delta\lambda$ olur.
Şimdi 45° enlemindeki duruma bakalım. Burada $\phi = 45^\circ$.
45° enlemindeki paralel dairesinin yarıçapı $r_{45} = R\cos45^\circ$'dir.
Trigonometrik bir değer olarak $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla, 45° enlemindeki paralel dairesinin yarıçapı $r_{45} = R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.
Aynı iki meridyen arasındaki açısal fark $\Delta\lambda$ olduğu için, 45° enlemindeki bu iki meridyen arası mesafe $L_{45} = (R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \Delta\lambda$ olur.
Soru bizden 45° enlemindeki iki meridyen arası mesafenin Ekvator'dakinin yaklaşık yüzde kaçı olduğunu bulmamızı istiyor. Bunun için $L_{45}$'i $L_{Ekvator}$'a oranlayıp sonucu yüzdeye çevirmeliyiz:
Oran $= \frac{L_{45}}{L_{Ekvator}} = \frac{(R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \Delta\lambda}{R \cdot \Delta\lambda}$
Burada $R$ ve $\Delta\lambda$ ifadeleri sadeleşir:
Oran $= \frac{\sqrt{2}}{2}$
Şimdi $\sqrt{2}$'nin yaklaşık değerini kullanalım: $\sqrt{2} \approx 1.414$.
Oran $\approx \frac{1.414}{2} = 0.707$
Bu oranı yüzdeye çevirmek için 100 ile çarparız:
Yüzde $= 0.707 \times 100\% = 70.7\%$
Bu sonuç, 45° enlemindeki iki meridyen arası mesafenin Ekvator'daki aynı iki meridyen arası mesafenin yaklaşık %70.7'si olduğunu gösterir. Seçeneklere baktığımızda, %71 bu değere en yakın olanıdır.
Cevap B seçeneğidir.
