Birin kuvvetleri (1ⁿ) Test 1

Bir öğrenci defterine "1'in her kuvveti 1'dir" yazmış ve aşağıdaki örnekleri vermiştir. Hangi örnekte hata yapmıştır?

A) 1⁷ = 1
B) 1⁻¹ = 1
C) (-1)² = 1
D) 1¹/² = 1

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir öğrencinin defterine yazdığı "1'in her kuvveti 1'dir" kuralını ve bu kurala verdiği örnekleri inceleyeceğiz. Amacımız, öğrencinin hangi örnekte bu kuralı doğru bir şekilde temsil edemediğini bulmaktır.

Öncelikle, öğrencinin yazdığı kuralı netleştirelim: "1'in her kuvveti 1'dir" ifadesi, tabanı 1 olan bir üslü sayının sonucunun her zaman 1 olacağını belirtir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $1^7 = 1$

  Bu örnekte taban $1$'dir ve kuvvet $7$'dir. $1$ sayısını kendisiyle $7$ kez çarptığımızda sonuç yine $1$ olur ($1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$). Bu örnek, öğrencinin kuralına tamamen uymaktadır ve doğrudur.

• B) $1^{-1} = 1$

  Bu örnekte taban yine $1$'dir ve kuvvet negatif bir sayıdır ($-1$). Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini almamız gerektiğini belirtir. Yani, $1^{-1} = \frac{1}{1^1} = \frac{1}{1} = 1$. Bu örnek de öğrencinin kuralına uymaktadır ve doğrudur.

• C) $(-1)^2 = 1$

  Bu örnekte taban $-1$'dir ve kuvvet $2$'dir. $(-1)$ sayısını kendisiyle $2$ kez çarptığımızda sonuç $(-1) \times (-1) = 1$ olur. Matematiksel olarak bu işlem doğrudur ve sonuç $1$'dir. Ancak, öğrencinin kuralı "1'in her kuvveti 1'dir" şeklindedir. Bu kural, tabanın 1 olması gerektiğini vurgular. Bu örnekte ise taban $-1$ olduğu için, bu örnek öğrencinin kendi yazdığı kuralı temsil etmemektedir. Öğrenci, bu örneği vererek kuralının kapsamını yanlış göstermiştir. Bu, öğrencinin yaptığı hatadır.

• D) $1^{1/2} = 1$

  Bu örnekte taban $1$'dir ve kuvvet kesirli bir sayıdır ($1/2$). Kesirli üs, kök alma işlemini ifade eder. $1^{1/2}$ ifadesi, $1$'in karekökü anlamına gelir ($\sqrt{1}$). $1$'in karekökü de $1$'dir. Bu örnek de öğrencinin kuralına uymaktadır ve doğrudur.

Sonuç olarak, öğrenci A, B ve D seçeneklerinde tabanı $1$ olan üslü ifadelerle kuralını doğru bir şekilde örneklendirmiştir. Ancak C seçeneğinde tabanı $1$ olmayan ($-1$ olan) bir ifadeyi, kendi kuralının bir örneği olarak sunarak hata yapmıştır.

Cevap C seçeneğidir.