Matematikte Z sembolü ile gösterilen küme için aşağıdakilerden hangisi söylenemez?
A) Toplama işlemine göre kapalıdır
B) Çıkarma işlemine göre kapalıdır
C) Bölme işlemine göre kapalıdır
D) Çarpma işlemine göre kapalıdır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, matematikte çok önemli bir sayı kümesi olan tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$) hakkında temel özelliklerimizi gözden geçireceğiz. Öncelikle $\mathbb{Z}$ kümesinin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Tam Sayılar Kümesi ($\mathbb{Z}$): Pozitif tam sayıları ($1, 2, 3, ...$), negatif tam sayıları ($-1, -2, -3, ...$) ve sıfırı ($0$) içeren kümedir. Yani $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklinde gösterilir.
- Bir kümenin belirli bir işleme göre "kapalı" olması demek, o kümeden alınan herhangi iki elemanla o işlemi yaptığımızda sonucun yine o kümenin bir elemanı olması demektir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Toplama işlemine göre kapalıdır:
- Bu ifade, $\mathbb{Z}$ kümesinden seçtiğimiz herhangi iki tam sayıyı topladığımızda sonucun yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir.
- Örnek: $3 \in \mathbb{Z}$ ve $5 \in \mathbb{Z}$ için $3 + 5 = 8$. Gördüğümüz gibi $8$ de bir tam sayıdır ($8 \in \mathbb{Z}$).
- Örnek: $-2 \in \mathbb{Z}$ ve $7 \in \mathbb{Z}$ için $-2 + 7 = 5$. $5$ de bir tam sayıdır ($5 \in \mathbb{Z}$).
- Örnek: $-4 \in \mathbb{Z}$ ve $-1 \in \mathbb{Z}$ için $-4 + (-1) = -5$. $-5$ de bir tam sayıdır ($-5 \in \mathbb{Z}$).
- Bu durum her zaman geçerlidir. Dolayısıyla, tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. Bu ifade doğrudur.
- B) Çıkarma işlemine göre kapalıdır:
- Bu ifade, $\mathbb{Z}$ kümesinden seçtiğimiz herhangi iki tam sayıyı çıkardığımızda sonucun yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir.
- Örnek: $10 \in \mathbb{Z}$ ve $4 \in \mathbb{Z}$ için $10 - 4 = 6$. Gördüğümüz gibi $6$ da bir tam sayıdır ($6 \in \mathbb{Z}$).
- Örnek: $3 \in \mathbb{Z}$ ve $-5 \in \mathbb{Z}$ için $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$. $8$ de bir tam sayıdır ($8 \in \mathbb{Z}$).
- Örnek: $-6 \in \mathbb{Z}$ ve $2 \in \mathbb{Z}$ için $-6 - 2 = -8$. $-8$ de bir tam sayıdır ($-8 \in \mathbb{Z}$).
- Bu durum her zaman geçerlidir. Dolayısıyla, tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır. Bu ifade doğrudur.
- C) Bölme işlemine göre kapalıdır:
- Bu ifade, $\mathbb{Z}$ kümesinden seçtiğimiz herhangi iki tam sayıyı böldüğümüzde sonucun yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir.
- Örnek: $6 \in \mathbb{Z}$ ve $3 \in \mathbb{Z}$ için $6 \div 3 = 2$. Gördüğümüz gibi $2$ bir tam sayıdır ($2 \in \mathbb{Z}$). Bu örnek yanıltıcı olabilir, çünkü her zaman böyle olmaz.
- Örnek: $5 \in \mathbb{Z}$ ve $2 \in \mathbb{Z}$ için $5 \div 2 = 2.5$. Ancak $2.5$ bir tam sayı değildir ($2.5 \notin \mathbb{Z}$).
- Bir tane bile karşı örnek bulduğumuzda, o özellik geçerli değildir. Tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. Sonuç bir rasyonel sayı (kesirli sayı) olabilir. Bu ifade yanlıştır.
- D) Çarpma işlemine göre kapalıdır:
- Bu ifade, $\mathbb{Z}$ kümesinden seçtiğimiz herhangi iki tam sayıyı çarptığımızda sonucun yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir.
- Örnek: $4 \in \mathbb{Z}$ ve $3 \in \mathbb{Z}$ için $4 \times 3 = 12$. Gördüğümüz gibi $12$ de bir tam sayıdır ($12 \in \mathbb{Z}$).
- Örnek: $-2 \in \mathbb{Z}$ ve $5 \in \mathbb{Z}$ için $-2 \times 5 = -10$. $-10$ da bir tam sayıdır ($-10 \in \mathbb{Z}$).
- Örnek: $-1 \in \mathbb{Z}$ ve $-7 \in \mathbb{Z}$ için $-1 \times (-7) = 7$. $7$ de bir tam sayıdır ($7 \in \mathbb{Z}$).
- Bu durum her zaman geçerlidir. Dolayısıyla, tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, tam sayılar kümesi için söylenemeyecek olan ifadenin "Bölme işlemine göre kapalıdır" olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
