A = (-3, 2] ve B = [0, 4) kümeleri veriliyor. (A ∩ B)' kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (Üstsimge tümleyeni ifade etmektedir)
A) (-∞, -3] ∪ (2, ∞)
B) (-∞, 0) ∪ [2, ∞)
C) (-∞, -3) ∪ [2, 4)
D) (-∞, 0) ∪ (4, ∞)
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda kümelerle ilgili temel işlemleri, özellikle kesişim ve tümleyen kavramlarını adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
- 1. Adım: Verilen Kümeleri Anlayalım
- Bize iki küme verilmiş: $A = (-3, 2]$ ve $B = [0, 4)$.
- $A = (-3, 2]$ kümesi, $-3$'ten büyük ($-3$ dahil değil) ve $2$'ye eşit veya küçük ($2$ dahil) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x \in \mathbb{R}$ için $-3 < x \le 2$.
- $B = [0, 4)$ kümesi ise $0$'a eşit veya büyük ($0$ dahil) ve $4$'ten küçük ($4$ dahil değil) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x \in \mathbb{R}$ için $0 \le x < 4$.
- 2. Adım: $A \cap B$ Kesişim Kümesini Bulalım
- Kesişim kümesini bulmak için, her iki kümenin de ortak elemanlarını belirlemeliyiz. Sayı doğrusu üzerinde bu iki kümenin çakıştığı aralığı bulacağız.
- Ortak elemanların alt sınırı, $A$'nın alt sınırı olan $-3$ ile $B$'nin alt sınırı olan $0$ arasındaki en büyük değerdir. Bu da $0$'dır. $0$ hem $A$ kümesinde (çünkü $0 > -3$) hem de $B$ kümesinde (çünkü $0 \ge 0$) olduğu için kesişime dahildir. Dolayısıyla alt sınır $[0$ olur.
- Ortak elemanların üst sınırı, $A$'nın üst sınırı olan $2$ ile $B$'nin üst sınırı olan $4$ arasındaki en küçük değerdir. Bu da $2$'dir. Kesişimde, $2$ noktasının dahil olmadığı bir aralık elde ederiz. Bu nedenle üst sınır $2)$ olur.
- Buna göre, $A \cap B = [0, 2)$ kümesini elde ederiz.
- 3. Adım: $(A \cap B)'$ Tümleyen Kümesini Bulalım
- Bir kümenin tümleyeni, o kümenin dışındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Eğer evrensel küme $\mathbb{R}$ (gerçek sayılar kümesi) ise, $[a, b)$ şeklindeki bir kümenin tümleyeni $(-\infty, a) \cup [b, \infty)$ şeklinde bulunur.
- Bizim kesişim kümemiz $A \cap B = [0, 2)$ olduğuna göre, bu kümenin tümleyeni $(A \cap B)'$ şunları içerecektir:
- $0$'dan küçük tüm gerçek sayılar: $(-\infty, 0)$
- $2$'ye eşit veya $2$'den büyük tüm gerçek sayılar: $[2, \infty)$
- Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, $(A \cap B)' = (-\infty, 0) \cup [2, \infty)$ kümesini buluruz.
Şimdi bulduğumuz bu kümenin seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(-\infty, -3] \cup (2, \infty)$
- B) $(-\infty, 0) \cup [2, \infty)$
- C) $(-\infty, -3) \cup [2, 4)$
- D) $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz $(-\infty, 0) \cup [2, \infty)$ kümesi B seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
