9. Sınıf Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri Nedir? Test 2

Bir matematik yarışmasında aşağıdaki işlem tanımlanıyor:
a ★ b = 2a + 3b - ab
Bu işlemin değişme özelliği olup olmadığını test etmek isteyen bir öğrenci, hangi iki sayıyı kullanarak en hızlı şekilde sonuca ulaşabilir?

A) 0 ve 1
B) 1 ve 2
C) 2 ve 3
D) -1 ve 1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, tanımlanan bir işlemin değişme özelliği olup olmadığını en hızlı şekilde nasıl test edebileceğimizi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Değişme Özelliği Nedir?

  Bir $\star$ işleminin değişme özelliğine sahip olması demek, işlem sırasının sonucu değiştirmemesi demektir. Yani, her $a$ ve $b$ sayısı için $a \star b = b \star a$ eşitliğinin sağlanması gerekir. Eğer bu eşitlik sadece tek bir $a$ ve $b$ çifti için bile sağlanmazsa, o işlem değişme özelliğine sahip değildir.

• 2. Değişme Özelliğini Nasıl Test Ederiz?

  Bir işlemin değişme özelliğine sahip olmadığını göstermek için sadece bir tane karşıt örnek (eşitliğin sağlanmadığı bir $a$ ve $b$ çifti) bulmak yeterlidir. Eğer tüm sayılar için eşitlik sağlanıyorsa değişme özelliği vardır deriz, ancak bunu ispatlamak genellikle daha zordur. Soru "en hızlı şekilde" dediği için, büyük ihtimalle değişme özelliğinin olmadığını gösteren en basit karşıt örneği arıyoruz.

• 3. Verilen İşlemi İnceleyelim:

  İşlemimiz $a \star b = 2a + 3b - ab$ olarak tanımlanmış. Değişme özelliği olup olmadığını test etmek için $a \star b$ ve $b \star a$ değerlerini hesaplayıp karşılaştırmalıyız.

  • $a \star b = 2a + 3b - ab$
  • $b \star a = 2b + 3a - ba$ (Unutmayın, $ba$ ile $ab$ aynıdır.)

  Eğer $a \star b = b \star a$ ise, o zaman $2a + 3b - ab = 2b + 3a - ab$ olmalıdır. Her iki taraftan $-ab$ terimini çıkarırsak:

  $2a + 3b = 2b + 3a$

  Şimdi terimleri bir araya getirelim:

  $3b - 2b = 3a - 2a$

  $b = a$

  Bu sonuç bize şunu söylüyor: Bu işlem sadece $a=b$ olduğunda değişme özelliğine sahiptir. Eğer $a \neq b$ ise, işlem değişme özelliğine sahip değildir. Yani, bu işlem genel olarak değişme özelliğine sahip değildir. Şimdi, değişme özelliğinin olmadığını en hızlı gösteren $a$ ve $b$ çiftini bulmalıyız.

• 4. Seçenekleri Tek Tek Deneyelim:

  Hesaplamaları en basit ve hızlı hale getiren sayıları arıyoruz. Genellikle 0 ve 1 gibi sayılar, çarpma ve toplama işlemlerini çok basitleştirir.

  • A) 0 ve 1
    • $0 \star 1 = 2(0) + 3(1) - (0)(1) = 0 + 3 - 0 = 3$
    • $1 \star 0 = 2(1) + 3(0) - (1)(0) = 2 + 0 - 0 = 2$

    Gördüğümüz gibi, $3 \neq 2$. Yani $0 \star 1 \neq 1 \star 0$. Bu durumda işlem değişme özelliğine sahip değildir. Hesaplamalar çok basitti.

  • B) 1 ve 2
    • $1 \star 2 = 2(1) + 3(2) - (1)(2) = 2 + 6 - 2 = 6$
    • $2 \star 1 = 2(2) + 3(1) - (2)(1) = 4 + 3 - 2 = 5$

    $6 \neq 5$. İşlem değişme özelliğine sahip değildir. Hesaplamalar A seçeneğine göre biraz daha karmaşıktı.

  • C) 2 ve 3
    • $2 \star 3 = 2(2) + 3(3) - (2)(3) = 4 + 9 - 6 = 7$
    • $3 \star 2 = 2(3) + 3(2) - (3)(2) = 6 + 6 - 6 = 6$

    $7 \neq 6$. İşlem değişme özelliğine sahip değildir. Hesaplamalar diğerlerine göre daha fazla adım içerdi.

  • D) -1 ve 1
    • $-1 \star 1 = 2(-1) + 3(1) - (-1)(1) = -2 + 3 - (-1) = -2 + 3 + 1 = 2$
    • $1 \star (-1) = 2(1) + 3(-1) - (1)(-1) = 2 - 3 - (-1) = 2 - 3 + 1 = 0$

    $2 \neq 0$. İşlem değişme özelliğine sahip değildir. Negatif sayılarla işlem yapmak, bazı öğrenciler için hata yapma olasılığını artırabilir veya biraz daha yavaş olabilir.

• 5. En Hızlı Sonuca Ulaşmak:

  Tüm seçenekler işlemin değişme özelliğine sahip olmadığını gösteriyor. Ancak "en hızlı şekilde" sonuca ulaşmak için en basit hesaplamaları içeren seçeneği tercih etmeliyiz. 0 ve 1 sayıları, çarpma işlemlerini sıfıra dönüştürdüğü veya birim eleman olarak davrandığı için hesaplamaları en kolay hale getirir. Bu nedenle A seçeneği, değişme özelliğinin olmadığını en hızlı şekilde gösterir.

Cevap A seçeneğidir.