10. Sınıf Üçgende Alan Test 2

Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm'dir. Bu üçgenin en kısa kenarına ait yükseklik kaç cm'dir?

A) \(\frac{60}{13}\)
B) \(\frac{120}{13}\)
C) 5
D) 12

Bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve en kısa kenarına ait yüksekliği bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Üçgenin Türünü Belirleyelim

Verilen kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm'dir. Bu kenarların bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını Pisagor Teoremi ile kontrol edelim. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).

$5^2 = 25$

$12^2 = 144$

$13^2 = 169$

Görüldüğü gibi, $25 + 144 = 169$, yani $5^2 + 12^2 = 13^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bu üçgen bir dik üçgendir. Dik açının karşısındaki kenar (en uzun kenar) hipotenüstür, yani 13 cm hipotenüstür.

• Adım 2: Üçgenin Alanını Hesaplayalım

Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısı ile bulunur. Dik kenarlarımız 5 cm ve 12 cm'dir.

Alan $= \frac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}$

Alan $= \frac{1}{2} \times 5 \text{ cm} \times 12 \text{ cm}$

Alan $= \frac{1}{2} \times 60 \text{ cm}^2$

Alan $= 30 \text{ cm}^2$

• Adım 3: Yükseklik ve Kenar İlişkisini Anlayalım

Bir üçgende, bir kenara ait yükseklik, o kenarın uzunluğu ile ters orantılıdır. Yani, en uzun kenara ait yükseklik en kısa, en kısa kenara ait yükseklik ise en uzun olur. Bu bilgi, sorunun "en kısa kenarına ait yükseklik" ifadesini doğru yorumlamamız için önemlidir.

Bu üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm'dir. En kısa kenar 5 cm, en uzun kenar ise 13 cm'dir (hipotenüs).

Soruda "en kısa kenarına ait yükseklik" ifadesi, genellikle üçgenin sahip olduğu yükseklikler arasında en kısa olan yüksekliği bulmamızı ister. Ve biz biliyoruz ki, bir üçgenin en kısa yüksekliği, en uzun kenarına ait olan yüksekliktir.

• Adım 4: En Kısa Yüksekliği (En Uzun Kenara Ait Yüksekliği) Bulalım

Üçgenin en uzun kenarı (hipotenüsü) 13 cm'dir. Bu kenara ait yüksekliği ($h$) bulmak için üçgenin alan formülünü kullanabiliriz:

Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$

Daha önce alanı $30 \text{ cm}^2$ olarak bulmuştuk. Şimdi taban olarak en uzun kenarı (13 cm) alalım ve buna ait yüksekliği ($h_{13}$) bulalım:

$30 = \frac{1}{2} \times 13 \text{ cm} \times h_{13}$

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

$60 = 13 \times h_{13}$

$h_{13} = \frac{60}{13} \text{ cm}$

Bu yükseklik, üçgenin en uzun kenarına ait olan yüksekliktir ve aynı zamanda üçgenin sahip olduğu yükseklikler arasında en kısa olanıdır.

Bu durumda, üçgenin en kısa kenarına ait yükseklik (yani, üçgenin en kısa yüksekliği) $\frac{60}{13}$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.