Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür köklü ifadeleri basitleştirirken genellikle iç içe kök formülü dediğimiz bir yöntemi kullanırız. Bu formül, $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ şeklindeki ifadeleri basitleştirmek için çok kullanışlıdır. Hadi adım adım sorumuzu çözelim:
- Adım 1: İfadeyi tanıma ve formülü hatırlama.
- Verilen ifade $\sqrt{8+2\sqrt{12}}$ şeklindedir. Bu ifade, $\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ genel formuna birebir uymaktadır.
- Bu formüle göre, eğer $x$ ve $y$ gibi iki sayı bulabilirsek ki bu sayıların toplamı $a$ ve çarpımı $b$ olsun, o zaman ifadeyi $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ şeklinde yazabiliriz. (Genellikle $x>y$ kabul edilir, ancak toplama işlemi değişme özelliğine sahip olduğu için bu soruda çok önemli değildir.)
- Bizim ifademizde $a=8$ ve $b=12$'dir.
- Adım 2: Toplamı $a$, çarpımı $b$ olan iki sayı bulma.
- Şimdi, toplamları $8$ ve çarpımları $12$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayıları bulmak için $12$'nin çarpan çiftlerini düşünelim ve toplamlarına bakalım:
- $1$ ve $12$ için toplam $1+12=13$'tür, bu $8$ değil.
- $2$ ve $6$ için toplam $2+6=8$'dir. İşte aradığımız sayılar bunlar!
- $3$ ve $4$ için toplam $3+4=7$'dir, bu da $8$ değil.
- Bulduğumuz sayılar $6$ ve $2$'dir. Yani $x=6$ ve $y=2$ (veya tam tersi, toplama işleminde sıra fark etmez).
- Adım 3: Formülü uygulama ve ifadeyi basitleştirme.
- Bulduğumuz $x=6$ ve $y=2$ sayılarını formülde yerine koyalım:
- $\sqrt{8+2\sqrt{12}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$.
- Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, doğru cevabı bulmuş oluruz.
- Adım 4: Seçeneklerle karşılaştırma.
- Elde ettiğimiz sonuç $\sqrt{6}+\sqrt{2}$'dir.
- Seçeneklere baktığımızda:
- A) $\sqrt{2}+\sqrt{6}$
- B) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$
- C) $\sqrt{2}+\sqrt{4}$
- D) $\sqrt{1}+\sqrt{7}$
- Bizim sonucumuz olan $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ifadesi, A seçeneğindeki $\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ifadesi ile aynıdır (toplama işleminin değişme özelliği sayesinde).
Cevap A seçeneğidir.
