9. Sınıf √a+2√b ve √a-2√b biçimindeki köklü gösterimler nedir?

Question

Bu tarz köklü ifadeleri sadeleştirirken içteki kökün tam kare olup olmadığına bakıyoruz. Mesela √(5+2√6) ifadesini √3 + √2 şeklinde yazabiliyoruz ama nasıl olduğunu tam anlamadım. Hangi adımları takip etmem gerekiyor?

Answer 1

√a+2√b ve √a-2√b Biçimindeki Köklü Gösterimler

Bu tür köklü ifadeler, iç içe kökler olarak adlandırılır ve genellikle \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}\) şeklinde gösterilir. Bu ifadeleri daha basit bir köklü ifadeye dönüştürmek mümkündür.

Dönüşüm Yöntemi

\(\sqrt{a + 2\sqrt{b}}\) veya \(\sqrt{a - 2\sqrt{b}}\) şeklindeki ifadeleri, iki köklü ifadenin toplamı veya farkı şeklinde yazabiliriz:

\[ \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \]

Burada \(x\) ve \(y\) aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

• \(x + y = a\)
• \(x \cdot y = b\)

Örnek Çözüm

\(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}\) ifadesini sadeleştirelim:

1. \(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) şeklinde yazılabilir.
2. \(x + y = 7\) ve \(x \cdot y = 10\) olmalıdır.
3. Bu denklemleri sağlayan \(x\) ve \(y\) değerleri \(5\) ve \(2\)'dir.
4. Sonuç: \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\).

Uyarılar

• Bu yöntem yalnızca \(a^2 - 4b\) bir tam kare ise uygulanabilir.
• \(\sqrt{a - 2\sqrt{b}}\) durumunda \(x > y\) olmalıdır.

Answer 2

9. Sınıf √a+2√b ve √a-2√b biçimindeki köklü gösterimler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{12 + 2\sqrt{20}} \) ifadesinin sadeleştirilmiş hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \sqrt{10} + \sqrt{2} \)
b) \( \sqrt{5} + \sqrt{7} \)
c) \( \sqrt{10} + \sqrt{2} \)
d) \( 2\sqrt{3} + \sqrt{5} \)
e) \( \sqrt{5} + \sqrt{7} \)
Cevap: a) \( \sqrt{10} + \sqrt{2} \)
Çözüm: \( \sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \) formülü uygulanır. \( x + y = 12 \) ve \( x \cdot y = 20 \) denklemlerinden \( x = 10 \), \( y = 2 \) bulunur.

Soru 2: \( \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \) ifadesinin eşiti nedir?
a) \( \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
b) \( \sqrt{3} + \sqrt{4} \)
c) \( \sqrt{6} - \sqrt{1} \)
d) \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \)
e) \( \sqrt{7} - \sqrt{3} \)
Cevap: a) \( \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Çözüm: \( \sqrt{a - 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \) formülü ile \( x + y = 7 \) ve \( x \cdot y = 10 \) denklemlerinden \( x = 5 \), \( y = 2 \) elde edilir.

Soru 3: \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( 1 + 2\sqrt{5} \)
b) \( 2 + \sqrt{5} \)
c) \( \sqrt{5} + \sqrt{4} \)
d) \( 3 + \sqrt{5} \)
e) \( \sqrt{7} + \sqrt{2} \)
Cevap: b) \( 2 + \sqrt{5} \)
Çözüm: \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \) şeklinde yazılır. \( x + y = 9 \) ve \( 4\sqrt{5} = 2\sqrt{xy} \) denklemlerinden \( x = 4 \), \( y = 5 \) bulunur. \( \sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5} \) olur.

Answer 3

9. Sınıf √a+2√b ve √a-2√b biçimindeki köklü gösterimler Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} \) ifadesi \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) şeklinde yazılırsa \( a = \) \_\_\_\_\_ ve \( b = \) \_\_\_\_\_ olur.

2. \( \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} \) ifadesinin sadeleştirilmiş hali \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) ise \( a \cdot b = \) \_\_\_\_\_'dir.

Eşleştirme

• A) \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \)
• B) \( \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \)
• C) \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \)
• 1) \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
• 2) \( \sqrt{5} - \sqrt{3} \)
• 3) \( 2 + \sqrt{5} \)

Doğru/Yanlış

1. \( \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = 1 + \sqrt{5} \) (D/Y)

2. \( \sqrt{10 - 4\sqrt{6}} \) ifadesi \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) şeklinde yazılamaz. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \) ifadesini \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) biçiminde yazınız.

2. \( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \) işleminin sonucu kaçtır?

Kısa Test

1. \( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

a) \( 1 + 2\sqrt{3} \)   b) \( 2 + \sqrt{3} \)   c) \( \sqrt{6} + \sqrt{7} \)

2. \( \sqrt{2\sqrt{3} - 2} \) ifadesinin karesi kaçtır?

a) \( 2\sqrt{3} - 2 \)   b) \( 4 - 2\sqrt{3} \)   c) \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \)

Cevaplar:

1: 5, 2

2: 35

A-1, B-2, C-3

1: D, 2: Y

1: \( \sqrt{6} + \sqrt{5} \), 2: 1

1: b, 2: a