Tam kare doğal sayılar nelerdir? Test 2

Ardışık iki tam sayının kareleri toplamı 145 olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?

A) 15
B) 17
C) 19
D) 21

Sevgili öğrenciler, bu tür problemleri adım adım çözerek kolayca sonuca ulaşabiliriz. İşte çözüm adımları:

• 1. Sayıları Tanımlayalım:

  Ardışık iki tam sayıdan bahsedildiği için, bu sayılardan birine $n$ dersek, diğer sayı $n+1$ olacaktır. (Örneğin, 5 ve 6 gibi, ya da -3 ve -2 gibi.)

• 2. Denklemi Kuralım:

  Soruda bu sayıların kareleri toplamının 145 olduğu belirtiliyor. O halde denklemi şu şekilde yazabiliriz:

  $n^2 + (n+1)^2 = 145$

• 3. Denklemi Çözelim:

  Şimdi denklemi adım adım açıp sadeleştirelim:

  Öncelikle $(n+1)^2$ ifadesini açalım. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ formülünü hatırlayalım.

  Yani, $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$ olur.

  Şimdi bu ifadeyi ana denklemimize yerine yazalım:

  $n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 145$

  Benzer terimleri birleştirelim:

  $2n^2 + 2n + 1 = 145$

  Denklemin sağ tarafındaki 145'i sol tarafa atalım (işareti değişir):

  $2n^2 + 2n + 1 - 145 = 0$

  Sadeleştirelim:

  $2n^2 + 2n - 144 = 0$

  Denklemin her tarafını 2'ye bölebiliriz, bu işlemi kolaylaştırır:

  $\frac{2n^2}{2} + \frac{2n}{2} - \frac{144}{2} = \frac{0}{2}$

  $n^2 + n - 72 = 0$

• 4. $n$ Değerini Bulalım (Çarpanlara Ayırma):

  Şimdi $n^2 + n - 72 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak $n$ değerlerini bulmalıyız. Çarpımları $-72$ ve toplamları $+1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $+9$ ve $-8$'dir.

  O halde denklemi şu şekilde yazabiliriz:

  $(n+9)(n-8) = 0$

  Bu denklemin doğru olabilmesi için ya $(n+9)$ sıfır olmalı ya da $(n-8)$ sıfır olmalıdır.

  Eğer $n+9 = 0$ ise, $n = -9$ olur.

  Eğer $n-8 = 0$ ise, $n = 8$ olur.

• 5. Sayıları Belirleyelim:

  İki farklı $n$ değeri bulduk. Her iki durumu da inceleyelim:

  Durum 1: Eğer $n = 8$ ise, ardışık sayılarımız $n$ ve $n+1$ yani $8$ ve $8+1=9$ olur.

  Kontrol edelim: $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$. Bu doğru.

  Durum 2: Eğer $n = -9$ ise, ardışık sayılarımız $n$ ve $n+1$ yani $-9$ ve $-9+1=-8$ olur.

  Kontrol edelim: $(-9)^2 + (-8)^2 = 81 + 64 = 145$. Bu da doğru.

• 6. Sayıların Toplamını Bulalım:

  Soru bizden bu sayıların toplamını istiyor.

  Durum 1 için: Sayılar 8 ve 9. Toplamları $8 + 9 = 17$.

  Durum 2 için: Sayılar -9 ve -8. Toplamları $(-9) + (-8) = -17$.

  Seçeneklere baktığımızda pozitif bir değer olan 17'yi görüyoruz.

Bu durumda, ardışık iki tam sayının toplamı 17'dir.

Cevap B seçeneğidir.