Sayı doğrusunda aralık işlemleri nasıl gösterilir Test 2

Sayı doğrusunda |x - 3| ≤ 2 eşitsizliğini sağlayan noktalar hangi aralıkta bulunur?

A) [1, 5]
B) [-1, 7]
C) (1, 5)
D) [-2, 8]

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer içeren bir eşitsizliği sayı doğrusu üzerinde nasıl yorumlayacağımızı ve çözeceğimizi adım adım inceleyeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Mutlak Değer Eşitsizliğini Anlama

  Bir mutlak değer eşitsizliği olan $|A| \leq B$ ifadesi, $A$ sayısının 0'a olan uzaklığının $B$'den küçük veya eşit olduğu anlamına gelir. Bu durum, $A$ sayısının $-B$ ile $B$ arasında bir değer alması gerektiği anlamına gelir. Yani, bu eşitsizliği şu şekilde yazabiliriz:

  $-B \leq A \leq B$

• 2. Adım: Eşitsizliği Uygulama

  Sorumuzdaki eşitsizlik $|x - 3| \leq 2$ şeklindedir. Burada $A = x - 3$ ve $B = 2$'dir. Yukarıdaki kuralı uygulayarak eşitsizliğimizi yeniden yazalım:

  $-2 \leq x - 3 \leq 2$

• 3. Adım: $x$'i Yalnız Bırakma

  $x$'in hangi aralıkta olduğunu bulmak için eşitsizliğin her tarafına $3$ ekleyerek $x$'i yalnız bırakalım:

  $-2 + 3 \leq x - 3 + 3 \leq 2 + 3$

  Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:

  $1 \leq x \leq 5$

• 4. Adım: Çözüm Kümesini Aralık Olarak Yazma

  Bulduğumuz $1 \leq x \leq 5$ eşitsizliği, $x$'in $1$'e eşit veya $1$'den büyük, aynı zamanda $5$'e eşit veya $5$'ten küçük olduğu anlamına gelir. Matematikte bu tür kapalı aralıklar köşeli parantezlerle gösterilir:

  $[1, 5]$

• 5. Adım: Sayı Doğrusunda Yorumlama (Ek Bilgi)

  Mutlak değerin bir diğer anlamı da uzaklıktır. $|x - 3|$ ifadesi, sayı doğrusunda $x$ noktasının $3$ noktasına olan uzaklığını temsil eder. Eşitsizlik $|x - 3| \leq 2$ ise, $x$ noktasının $3$ noktasına olan uzaklığının en fazla $2$ birim olabileceği anlamına gelir.

  • $3$'ten $2$ birim sola gidersek: $3 - 2 = 1$ noktasına ulaşırız.
  • $3$'ten $2$ birim sağa gidersek: $3 + 2 = 5$ noktasına ulaşırız.

  Bu durumda, $x$ noktası $1$ ile $5$ arasında (bu noktalar dahil) yer almalıdır. Bu da yine $[1, 5]$ aralığını doğrular.

Bu adımları takip ettiğimizde, eşitsizliği sağlayan noktaların $[1, 5]$ aralığında bulunduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.