A) \( \{\sqrt{2}\} \)
B) \( \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \)
C) \( \{-2, 2\} \)
D) \( \{\sqrt{-2}\} \)
Bu soruda, $ x^2 = 2 $ denkleminin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Denklemi adım adım inceleyelim:
Denklemi Anlayalım: Bize verilen denklem $ x^2 = 2 $ şeklindedir. Bu denklem, "karesi $2$ olan sayıları bul" anlamına gelir.
Kareköklü Sayılar ve Çözüm: Bir sayının karesi pozitif bir sayıya eşitse, bu sayının iki farklı reel kökü vardır: biri pozitif, diğeri negatiftir. Örneğin, $ x^2 = 9 $ denkleminin çözüm kümesi $ \{-3, 3\} $ olur, çünkü $ (3)^2 = 9 $ ve $ (-3)^2 = 9 $ 'dur.
Aynı mantıkla, $ x^2 = 2 $ denkleminde de iki farklı çözüm olmalıdır:
Birinci çözüm, $ x = \sqrt{2} $ olacaktır. Çünkü $ (\sqrt{2})^2 = 2 $ 'dir.
İkinci çözüm ise, $ x = -\sqrt{2} $ olacaktır. Çünkü $ (-\sqrt{2})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 1 \cdot 2 = 2 $ 'dir.
Çözüm Kümesini Oluşturalım: Bu durumda, $ x^2 = 2 $ denklemini sağlayan $x$ değerleri $ \sqrt{2} $ ve $ -\sqrt{2} $ 'dir. Çözüm kümesi, bu değerlerin bir araya getirilmesiyle oluşur.
Çözüm kümesi $ \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} $ şeklinde yazılır.
Seçenekleri İnceleyelim:
A) $ \{\sqrt{2}\} $: Sadece pozitif kökü içeriyor, eksik bir çözümdür.
B) $ \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} $: Hem pozitif hem de negatif kökü içeriyor, bu doğru çözümdür.
C) $ \{-2, 2\} $: Bu değerlerin kareleri $ (-2)^2 = 4 $ ve $ (2)^2 = 4 $ 'tür. Yani bu seçenek $ x^2 = 4 $ denkleminin çözümüdür, bizim denklemimiz için yanlış.
D) $ \{\sqrt{-2}\} $: Karekök içinde negatif bir sayı olduğu için bu bir reel sayı değildir. Bu tür sayılar karmaşık sayılar kümesine aittir ve genellikle bu seviyede reel sayılar kümesindeki çözümler aranır. Dolayısıyla yanlış.
