Reel Sayı nedir? Test 2

Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisinin her ikisi de reel sayı değildir?

A) \( \sqrt{9} \) ve \( \sqrt{-4} \)
B) \( \pi \) ve \( \sqrt{2} \)
C) \( \frac{1}{3} \) ve \( -5 \)
D) \( 2i \) ve \( 3i \)

Bu soruda, verilen sayı çiftlerinden hangisinin her iki sayısının da reel sayı olmadığını bulmamız isteniyor. Öncelikle reel sayı ve reel olmayan (karmaşık/sanal) sayı kavramlarını hatırlayalım:

• Reel Sayılar (Gerçek Sayılar): Rasyonel ve irrasyonel sayıların tümünü kapsar. Sayı doğrusu üzerinde gösterilebilen tüm sayılardır. Örneğin: $5$, $-3$, $0$, $1/2$, $\sqrt{2}$, $\pi$.
• Reel Olmayan Sayılar (Sanal/Karmaşık Sayılar): $i = \sqrt{-1}$ birimi içeren sayılardır. Genel formu $a + bi$ şeklindedir, burada $a$ ve $b$ reel sayılardır. Eğer $b \neq 0$ ise sayı reel değildir. Eğer $a=0$ ve $b \neq 0$ ise bu sayılara "sanal sayı" denir. Örneğin: $2i$, $3+4i$, $\sqrt{-9} = 3i$.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $ \sqrt{9} $ ve $ \sqrt{-4} $

  $ \sqrt{9} $: Bu sayı $3$'e eşittir. $3$ bir tam sayı ve dolayısıyla bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle $3$ bir reel sayıdır.

  $ \sqrt{-4} $: Bu sayı $ \sqrt{4 \times -1} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2i $ şeklinde yazılır. $2i$ bir sanal sayıdır ve reel sayı değildir.

  Bu seçenekte bir sayı reel, diğeri reel değildir. Dolayısıyla bu doğru cevap değildir.

• B) $ \pi $ ve $ \sqrt{2} $

  $ \pi $: Pi sayısı, yaklaşık değeri $3.14159...$ olan bir irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar reel sayıdır.

  $ \sqrt{2} $: Karekök $2$, yaklaşık değeri $1.414...$ olan bir irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar reel sayıdır.

  Bu seçenekte her iki sayı da reel sayıdır. Dolayısıyla bu doğru cevap değildir.

• C) $ \frac{1}{3} $ ve $ -5 $

  $ \frac{1}{3} $: Bu bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar reel sayıdır.

  $ -5 $: Bu bir tam sayı ve dolayısıyla bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar reel sayıdır.

  Bu seçenekte her iki sayı da reel sayıdır. Dolayısıyla bu doğru cevap değildir.

• D) $ 2i $ ve $ 3i $

  $ 2i $: Bu bir sanal sayıdır (reel kısmı $0$, sanal kısmı $2$). Sanal sayılar reel sayı değildir.

  $ 3i $: Bu bir sanal sayıdır (reel kısmı $0$, sanal kısmı $3$). Sanal sayılar reel sayı değildir.

  Bu seçenekteki her iki sayı da reel sayı değildir. Bu, sorunun bizden istediği durumdur.

Bu analizlere göre, her ikisi de reel sayı olmayan sayı çifti D seçeneğinde bulunmaktadır.

Cevap D seçeneğidir.