İki Nokta Arasını Noktalarla Doldurma Etkinliği Test 2

Koordinat düzleminde A(2,3) ve B(8,11) noktaları arasındaki doğru parçası eşit aralıklarla bölünmek isteniyor. Bu iki nokta arasına 3 nokta yerleştirildiğinde, bu noktalardan ikincisinin koordinatları nedir?

A) (4,5)
B) (5,7)
C) (6,9)
D) (7,10)

Bu soruda, koordinat düzlemindeki iki nokta arasına belirli sayıda nokta yerleştirerek doğru parçasını eşit aralıklara bölme ve bu noktalardan birinin koordinatlarını bulma işlemini yapacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Toplam Bölme Sayısını Belirleyelim.

  A ve B noktaları arasına 3 nokta (P1, P2, P3) yerleştirildiğinde, doğru parçası kaç eşit parçaya ayrılır? Şöyle düşünelim:

  A --- P1 --- P2 --- P3 --- B

  Gördüğünüz gibi, A'dan B'ye kadar toplamda 4 eşit aralık oluşur (AP1, P1P2, P2P3, P3B). Yani doğru parçası 4 eşit parçaya bölünmüştür.

• Adım 2: Her Bir Aralık İçin x ve y Koordinatlarındaki Değişimi Bulalım.

  A noktasının koordinatları $(x_A, y_A) = (2,3)$ ve B noktasının koordinatları $(x_B, y_B) = (8,11)$'dir.

  x koordinatındaki toplam değişim: $x_B - x_A = 8 - 2 = 6$

  y koordinatındaki toplam değişim: $y_B - y_A = 11 - 3 = 8$

  Bu toplam değişimleri 4 eşit parçaya böldüğümüzde, her bir aralık için x ve y koordinatlarındaki değişimi buluruz:

  Her bir aralık için x değişimi: $\Delta x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

  Her bir aralık için y değişimi: $\Delta y = \frac{8}{4} = 2$

• Adım 3: İkinci Noktanın (P2) Koordinatlarını Bulalım.

  Bizden istenen, A ve B arasına yerleştirilen 3 noktadan ikincisinin (P2) koordinatlarıdır. P2 noktası, A noktasından itibaren 2 aralık uzaklıktadır (A'dan P1'e 1 aralık, P1'den P2'ye 1 aralık, toplam 2 aralık).

  Bu durumda, A noktasının koordinatlarına 2 defa $\Delta x$ ve 2 defa $\Delta y$ ekleyerek P2'nin koordinatlarını bulabiliriz:

  P2'nin x koordinatı: $x_{P2} = x_A + 2 \cdot \Delta x = 2 + 2 \cdot (1.5) = 2 + 3 = 5$

  P2'nin y koordinatı: $y_{P2} = y_A + 2 \cdot \Delta y = 3 + 2 \cdot (2) = 3 + 4 = 7$

  Böylece, ikinci noktanın koordinatları $(5,7)$ olarak bulunur.

• Ek Bilgi: Orta Nokta İlişkisi

  Fark etmiş olabilirsiniz ki, P2 noktası A'dan 2 birim ve B'den de 2 birim uzaklıktadır. Bu durum, P2 noktasının aslında A ve B doğru parçasının orta noktası olduğu anlamına gelir. Orta nokta formülüyle de aynı sonuca ulaşabiliriz:

  Orta nokta x koordinatı: $\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

  Orta nokta y koordinatı: $\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

  Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de $(5,7)$ sonucuna ulaşıyoruz.

Cevap B seçeneğidir.