Sıfır polinomu nedir? Test 2

P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, P(x) + Q(x) = 0 ve P(x) - Q(x) = 0 eşitlikleri sağlanıyorsa, bu polinomlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) P(x) ve Q(x) sabit polinomlardır
B) P(x) ve Q(x) sıfır polinomlarıdır
C) P(x) ve Q(x) birim polinomlardır
D) P(x) ve Q(x) dereceleri eşittir

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize iki polinomun toplamı ve farkı ile ilgili iki eşitlik verilmiş ve bu polinomların ne olduğu soruluyor. Adım adım bu soruyu çözelim:

• Verilen Eşitlikleri Yazalım:

  Bize iki temel eşitlik verilmiş:

  1. $P(x) + Q(x) = 0$

  2. $P(x) - Q(x) = 0$

  Bu iki eşitliği bir denklem sistemi gibi düşünebiliriz. Amacımız $P(x)$ ve $Q(x)$ polinomlarını bulmak.

• Polinomları Bulmak İçin Eşitlikleri Toplayalım:

  İlk eşitlik ile ikinci eşitliği taraf tarafa toplayalım. Bu işlem, $Q(x)$ terimini yok etmemizi sağlayacak:

  $(P(x) + Q(x)) + (P(x) - Q(x)) = 0 + 0$

  $P(x) + Q(x) + P(x) - Q(x) = 0$

  $2P(x) = 0$

  Bu eşitlikten her iki tarafı $2$'ye böldüğümüzde $P(x)$ polinomunu buluruz:

  $P(x) = 0$

  Yani, $P(x)$ bir sıfır polinomudur.

• Polinomları Bulmak İçin Eşitlikleri Çıkaralım:

  Şimdi de ilk eşitlikten ikinci eşitliği taraf tarafa çıkaralım. Bu işlem, $P(x)$ terimini yok etmemizi sağlayacak:

  $(P(x) + Q(x)) - (P(x) - Q(x)) = 0 - 0$

  $P(x) + Q(x) - P(x) + Q(x) = 0$

  $2Q(x) = 0$

  Bu eşitlikten her iki tarafı $2$'ye böldüğümüzde $Q(x)$ polinomunu buluruz:

  $Q(x) = 0$

  Yani, $Q(x)$ de bir sıfır polinomudur.

• Sonuçları Değerlendirelim:

  Yaptığımız işlemler sonucunda hem $P(x)$ hem de $Q(x)$ polinomlarının sıfır polinomu olduğunu bulduk. Sıfır polinomu, tüm katsayıları sıfır olan ve her $x$ değeri için $0$ sonucunu veren polinomdur.

• Seçenekleri İnceleyelim:
  • A) P(x) ve Q(x) sabit polinomlardır: Sıfır polinomu aynı zamanda bir sabit polinomdur ($P(x)=0$ gibi). Ancak "sabit polinomlardır" demek, $P(x)=5$ ve $Q(x)=-5$ gibi durumları da kapsar. Bu durumda $P(x)-Q(x)=5-(-5)=10 \neq 0$ olurdu. Dolayısıyla bu kesinlikle doğru değildir.
  • B) P(x) ve Q(x) sıfır polinomlarıdır: Evet, bulduğumuz sonuç tam olarak budur. Her iki polinom da sıfır polinomudur.
  • C) P(x) ve Q(x) birim polinomlardır: Birim polinom genellikle $P(x)=1$ olarak kabul edilir. Bu durumda $P(x)+Q(x)=1+1=2 \neq 0$ olurdu. Bu kesinlikle yanlıştır.
  • D) P(x) ve Q(x) dereceleri eşittir: Sıfır polinomunun derecesi genellikle tanımsız kabul edilir veya $-\infty$ olarak alınır. Eğer ikisi de sıfır polinomu ise dereceleri eşit kabul edilebilir. Ancak, bu koşulları sağlayan tek durum sıfır polinomu olduğu için, bu seçenek B seçeneğinden daha az kesin ve açıklayıcıdır. Ayrıca, $P(x)=x^2$ ve $Q(x)=-x^2$ olsaydı dereceleri eşit olurdu ama $P(x)-Q(x)=2x^2 \neq 0$ olurdu. Dolayısıyla bu da kesinlikle doğru değildir.

Bu durumda, verilen eşitlikleri sağlayan tek durum, $P(x)$ ve $Q(x)$ polinomlarının sıfır polinomları olmasıdır.

Cevap B seçeneğidir.