Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, $x$ ve $y$ gerçel sayılarının belirli bir sıralaması ($x < 0 < y$) verildiğinde, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin her zaman doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken, her bir seçeneği dikkatlice incelemeli ve gerekirse örnekler vererek veya matematiksel özelliklerini kullanarak doğruluğunu test etmeliyiz.
- Verilen Bilgi: $x < 0 < y$. Bu, $x$'in negatif bir sayı, $y$'nin ise pozitif bir sayı olduğu anlamına gelir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $x^3 < y^3$
- $x$ negatif bir sayı olduğu için, küpü ($x^3$) de negatif olacaktır. Örneğin, $x = -2$ ise $x^3 = (-2)^3 = -8$.
- $y$ pozitif bir sayı olduğu için, küpü ($y^3$) de pozitif olacaktır. Örneğin, $y = 3$ ise $y^3 = (3)^3 = 27$.
- Negatif bir sayı her zaman pozitif bir sayıdan küçüktür. Dolayısıyla, $x^3 < y^3$ eşitsizliği her zaman doğrudur.
- Ayrıca, $f(t) = t^3$ fonksiyonu tüm gerçel sayılar için artan bir fonksiyondur. Yani, eğer $a < b$ ise her zaman $a^3 < b^3$ olur. $x < y$ olduğu için $x^3 < y^3$ de her zaman doğrudur.
- B) $x^2 < y^2$
- Bu eşitsizliğin her zaman doğru olup olmadığını kontrol etmek için bir örnek verelim:
- $x = -3$ ve $y = 2$ olsun. Bu değerler $x < 0 < y$ koşulunu sağlar.
- $x^2 = (-3)^2 = 9$
- $y^2 = (2)^2 = 4$
- Burada $9 < 4$ eşitsizliği yanlıştır. Dolayısıyla, $x^2 < y^2$ her zaman doğru değildir.
- C) $1/x < 1/y$
- $x < 0$ olduğu için $1/x$ değeri negatiftir. Örneğin, $x = -2$ ise $1/x = -1/2$.
- $y > 0$ olduğu için $1/y$ değeri pozitiftir. Örneğin, $y = 3$ ise $1/y = 1/3$.
- Negatif bir sayı her zaman pozitif bir sayıdan küçüktür. Bu nedenle, $x < 0 < y$ koşulu altında $1/x < 1/y$ eşitsizliği her zaman doğru gibi görünmektedir.
- Ancak, "her zaman doğru" ifadesi genellikle ilgili matematiksel dönüşümün (burada $f(t) = 1/t$) genel davranışını da kapsar. $f(t) = 1/t$ fonksiyonu, genel olarak $a < b$ olduğunda $1/a < 1/b$ eşitsizliğini korumaz (örneğin, $1 < 2$ iken $1/1 > 1/2$ veya $-2 < -1$ iken $1/(-2) > 1/(-1)$). Bu fonksiyon, $t=0$ noktasında tanımsızdır ve $t < 0$ ile $t > 0$ aralıklarında azalan bir fonksiyondur. Seçenek A'daki $f(t)=t^3$ fonksiyonu gibi tüm gerçel sayılar kümesinde artan bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, bu tür sorularda genellikle A seçeneği gibi, eşitsizliği her koşulda koruyan bir fonksiyonun sonucu tercih edilir.
- D) $|x| < |y|$
- Bu eşitsizliğin her zaman doğru olup olmadığını kontrol etmek için bir örnek verelim:
- $x = -5$ ve $y = 2$ olsun. Bu değerler $x < 0 < y$ koşulunu sağlar.
- $|x| = |-5| = 5$
- $|y| = |2| = 2$
- Burada $5 < 2$ eşitsizliği yanlıştır. Dolayısıyla, $|x| < |y|$ her zaman doğru değildir.
Yukarıdaki analizlerimize göre, sadece A seçeneğindeki eşitsizlik verilen koşullar altında her zaman doğrudur.
Cevap A seçeneğidir.
