Tam sayılar kümesi sıralı mıdır Test 2

Tam sayılar kümesi Z üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi bu kümeyi sıralı yapmaz?

A) a R b ⇔ a ≤ b
B) a R b ⇔ a ≥ b
C) a R b ⇔ |a| ≤ |b|
D) a R b ⇔ a = b

Bir kümenin bir bağıntı ile sıralı bir küme olabilmesi için, bu bağıntının (kısmi sıralama bağıntısı) aşağıdaki üç özelliği sağlaması gerekir:

• Yansıma (Reflexivity): Kümedeki her $a$ elemanı için $a \text{ R } a$ olmalıdır.
• Ters Simetri (Antisymmetry): Kümedeki her $a, b$ elemanı için, eğer $a \text{ R } b$ ve $b \text{ R } a$ ise, o zaman $a = b$ olmalıdır.
• Geçişme (Transitivity): Kümedeki her $a, b, c$ elemanı için, eğer $a \text{ R } b$ ve $b \text{ R } c$ ise, o zaman $a \text{ R } c$ olmalıdır.

Şimdi seçeneklerde verilen bağıntıları bu özelliklere göre inceleyelim:

• A) $a \text{ R } b \Leftrightarrow a \leq b$
  • Yansıma: Her $a \in \mathbb{Z}$ için $a \leq a$ doğrudur. (Sağlar)
  • Ters Simetri: Eğer $a \leq b$ ve $b \leq a$ ise, bu ancak $a = b$ olduğunda mümkündür. (Sağlar)
  • Geçişme: Eğer $a \leq b$ ve $b \leq c$ ise, $a \leq c$ olduğu açıktır. (Sağlar)

  Bu bağıntı $\mathbb{Z}$ kümesini sıralı yapar (hatta tam sıralı yapar).

• B) $a \text{ R } b \Leftrightarrow a \geq b$
  • Yansıma: Her $a \in \mathbb{Z}$ için $a \geq a$ doğrudur. (Sağlar)
  • Ters Simetri: Eğer $a \geq b$ ve $b \geq a$ ise, bu ancak $a = b$ olduğunda mümkündür. (Sağlar)
  • Geçişme: Eğer $a \geq b$ ve $b \geq c$ ise, $a \geq c$ olduğu açıktır. (Sağlar)

  Bu bağıntı da $\mathbb{Z}$ kümesini sıralı yapar (hatta tam sıralı yapar).

• C) $a \text{ R } b \Leftrightarrow |a| \leq |b|$
  • Yansıma: Her $a \in \mathbb{Z}$ için $|a| \leq |a|$ doğrudur. (Sağlar)
  • Ters Simetri: Eğer $|a| \leq |b|$ ve $|b| \leq |a|$ ise, bu $|a| = |b|$ anlamına gelir. Ancak bu durumda $a = b$ olmak zorunda değildir. Örneğin, $a = 2$ ve $b = -2$ alalım.
    • $|2| \leq |-2|$ yani $2 \leq 2$ doğrudur, dolayısıyla $2 \text{ R } -2$.
    • $|-2| \leq |2|$ yani $2 \leq 2$ doğrudur, dolayısıyla $-2 \text{ R } 2$.
    • Ancak $2 \neq -2$.

    Bu nedenle, ters simetri özelliği sağlanmaz.

  • Geçişme: Eğer $|a| \leq |b|$ ve $|b| \leq |c|$ ise, $|a| \leq |c|$ olduğu doğrudur. (Sağlar)

  Ters simetri özelliği sağlanmadığı için bu bağıntı $\mathbb{Z}$ kümesini sıralı yapmaz.

• D) $a \text{ R } b \Leftrightarrow a = b$
  • Yansıma: Her $a \in \mathbb{Z}$ için $a = a$ doğrudur. (Sağlar)
  • Ters Simetri: Eğer $a = b$ ve $b = a$ ise, bu $a = b$ demektir. (Sağlar)
  • Geçişme: Eğer $a = b$ ve $b = c$ ise, $a = c$ olduğu doğrudur. (Sağlar)

  Bu bağıntı da $\mathbb{Z}$ kümesini sıralı yapar (ayrık sıralama olarak bilinir).

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $|a| \leq |b|$ bağıntısının ters simetri özelliğini sağlamadığı görülmüştür. Bu nedenle, bu bağıntı $\mathbb{Z}$ kümesini sıralı yapmaz.

Cevap C seçeneğidir.