Tam Sayılar Kümesi ve Sıralama
Evet, tam sayılar kümesi (Z) tamamen sıralı bir kümedir. Bu, kümedeki herhangi iki tam sayıyı alıp karşılaştırabileceğimiz ve bunlardan birinin diğerinden kesinlikle küçük, büyük veya eşit olduğunu söyleyebileceğimiz anlamına gelir.
Sıralamanın Tanımı
Tam sayılar kümesindeki "<" (küçüktür) ilişkisi, aşağıdaki üç temel özelliği sağlar:
- Tam Karşılaştırılabilirlik (Trichotomi Özelliği): Her \( a \) ve \( b \) tam sayısı için, aşağıdaki üç durumdan yalnızca ve yalnızca biri doğrudur:
- \( a < b \)
- \( a = b \)
- \( a > b \)
- Geçişlilik Özelliği: Her \( a, b, c \) tam sayısı için, eğer \( a < b \) ve \( b < c \) ise, o zaman \( a < c \)'dir.
- Antisimetrik Özellik: Her \( a \) ve \( b \) tam sayısı için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq a \) ise, o zaman \( a = b \)'dir.
Sayı Doğrusu Üzerinde Görselleştirme
Tam sayıları bir sayı doğrusu üzerinde düşünmek, sıralamayı anlamayı kolaylaştırır. Sayı doğrusunda:
- Soldaki bir sayı, her zaman sağındaki bir sayıdan küçüktür.
- Örneğin, -5 sayısı -2'nin solunda olduğu için \( -5 < -2 \)'dir.
- Benzer şekilde, 3 sayısı 7'nin solunda olduğu için \( 3 < 7 \)'dir.
- Negatif sayılar sıfırdan küçük, pozitif sayılar ise sıfırdan büyüktür.
Bu nedenle, tam sayılar kümesi Z, "küçüktür" (<) ilişkisiyle birlikte tamamen sıralı bir küme oluşturur.
