Sevgili öğrenciler, bu soruda bir geometrik dizinin ilk üç terimi verilmiş ve bizden 7. terimi bulmamız isteniyor. Geometrik dizilerde her terim, bir önceki terimin sabit bir oranla (ortak çarpan) çarpılmasıyla elde edilir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- 1. Ortak Çarpanı (r) Bulma:
Bir geometrik dizide ortak çarpan ($r$), herhangi bir terimin kendisinden önceki terime bölünmesiyle bulunur. Bize verilen ilk üç terim $a_1 = rac{1}{4}$, $a_2 = rac{1}{2}$ ve $a_3 = 1$'dir. Ortak çarpanı bulmak için $a_2$'yi $a_1$'e bölebiliriz:
$r = rac{a_2}{a_1} = rac{ rac{1}{2}}{ rac{1}{4}}$
Kesirlerle bölme işlemi yaparken, birinci kesri aynen yazar, ikinci kesri ters çevirip çarparız:
$r = rac{1}{2} \cdot 4 = 2$
Kontrol etmek için $a_3$'ü $a_2$'ye de bölebiliriz:
$r = rac{a_3}{a_2} = rac{1}{ rac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2$
Gördüğümüz gibi, ortak çarpanımız $r = 2$'dir.
- 2. Geometrik Dizinin Genel Terim Formülünü Kullanma:
Bir geometrik dizinin $n$. terimi ($a_n$) için genel formül şöyledir:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
Burada $a_1$ ilk terim, $r$ ortak çarpan ve $n$ terim sayısıdır.
- 3. 7. Terimi ($a_7$) Hesaplama:
Bizden dizinin 7. terimini bulmamız isteniyor, yani $n=7$. İlk terimimiz $a_1 = rac{1}{4}$ ve ortak çarpanımız $r = 2$'dir. Bu değerleri genel formülde yerine yazalım:
$a_7 = a_1 \cdot r^{7-1}$
$a_7 = rac{1}{4} \cdot 2^{6}$
Şimdi $2^6$ değerini hesaplayalım: $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Bu değeri formülde yerine koyalım:
$a_7 = rac{1}{4} \cdot 64$
$a_7 = rac{64}{4}$
$a_7 = 16$
Buna göre, dizinin 7. terimi 16'dır.
Cevap B seçeneğidir.
