Hangi ifadeler polinom değildir Test 2

Bir matematik öğretmeni tahtaya dört farklı ifade yazmıştır:
I. \(2x^3 - x + 5\)
II. \(\frac{1}{x} + 3x^2\)
III. \(4\sqrt{x} - 2\)
IV. \(7x^5 - 3x^2 + x\)
Buna göre öğrencilerinden hangi ifadelerin polinom olmadığını bulmalarını istemiştir.

A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) III ve IV

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için dikkat etmemiz gereken temel kural şudur: Bir polinomda değişkenin (genellikle $x$) kuvvetleri (üsleri) daima doğal sayı olmalıdır. Yani, $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Bu kurala göre, değişkenin üssü kesirli olamaz (yani köklü ifade içinde değişken bulunamaz) ve negatif olamaz (yani değişken paydada bulunamaz).

Şimdi verilen ifadeleri bu kurala göre tek tek inceleyelim:

• I. $2x^3 - x + 5$
  Bu ifadede $x$'in kuvvetleri sırasıyla $3$ (terim $2x^3$), $1$ (terim $-x$) ve sabitin yanında $0$ (terim $5$, yani $5x^0$) şeklindedir. Tüm bu kuvvetler ($3, 1, 0$) doğal sayılardır. Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.
• II. $\frac{1}{x} + 3x^2$
  Bu ifadede $\frac{1}{x}$ terimi bulunmaktadır. Bu terimi üslü ifade olarak $x^{-1}$ şeklinde yazabiliriz. Burada $x$'in kuvveti $-1$'dir. $-1$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır). Polinomlarda değişkenin kuvveti negatif olamaz. Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.
• III. $4\sqrt{x} - 2$
  Bu ifadede $4\sqrt{x}$ terimi bulunmaktadır. Karekök içindeki $x$ ifadesini üslü olarak $x^{1/2}$ şeklinde yazabiliriz. Burada $x$'in kuvveti $1/2$'dir. $1/2$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır). Polinomlarda değişkenin kuvveti kesirli olamaz. Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.
• IV. $7x^5 - 3x^2 + x$
  Bu ifadede $x$'in kuvvetleri sırasıyla $5$ (terim $7x^5$), $2$ (terim $-3x^2$) ve $1$ (terim $x$) şeklindedir. Tüm bu kuvvetler ($5, 2, 1$) doğal sayılardır. Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.

Öğrencilerden hangi ifadelerin polinom olmadığını bulmaları istenmiştir. Yaptığımız incelemeye göre, II ve III numaralı ifadeler polinom değildir.

Cevap C seçeneğidir.