Hangi ifadeler polinom değildir Test 2

\(P(x) = \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^2}\) ifadesi sadeleştirildiğinde \(2x - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\) elde ediliyor. Bu durumda başlangıçtaki ifade için ne söylenebilir?

A) Bir polinomdur çünkü katsayılar gerçek sayıdır
B) Bir polinomdur çünkü derecesi 3'tür
C) Bir polinom değildir çünkü değişken paydada bulunur
D) Bir polinom değildir çünkü sabit terimi yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle cebirsel ifadelerin önemli bir konusu olan polinomları inceleyeceğiz. Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için temel kuralları hatırlamamız gerekiyor. Hadi sorumuzu adım adım çözelim ve bu konuyu pekiştirelim!

• Polinom Nedir?

  Öncelikle bir ifadenin polinom olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini hatırlayalım. Bir polinom, değişkenin kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olması gereken bir cebirsel ifadedir. Ayrıca, değişken paydada bulunamaz veya kök içinde olamaz.

• Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Sorumuzda bize $P(x) = \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^2}$ ifadesi verilmiş. Bu ifadeyi daha iyi anlamak için sadeleştirilmiş haline bakalım.

• İfadeyi Sadeleştirelim:

  Kesirli ifadelerde, paydaki her terimi paydadaki terime ayrı ayrı bölebiliriz. Yani:

  $P(x) = \frac{2x^3}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2}$

  Şimdi her bir terimi ayrı ayrı sadeleştirelim:

  • $\frac{2x^3}{x^2} = 2x^{3-2} = 2x^1 = 2x$
  • $\frac{-5x}{x^2} = -5x^{1-2} = -5x^{-1} = -\frac{5}{x}$
  • $\frac{1}{x^2} = 1x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

  Bu durumda, ifadenin sadeleştirilmiş hali $2x - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}$ olur. Soru da bize bu sadeleştirilmiş hali zaten vermişti.

• Polinom Tanımıyla Karşılaştıralım:

  Şimdi sadeleştirilmiş ifadeyi polinom tanımıyla karşılaştıralım: $2x - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}$.

  Bu ifadede $-\frac{5}{x}$ terimi (yani $-5x^{-1}$) ve $\frac{1}{x^2}$ terimi (yani $x^{-2}$) bulunmaktadır. Gördüğümüz gibi, değişken $x$ paydada yer almaktadır ve bu da $x$'in kuvvetinin negatif tam sayı olduğu anlamına gelir ($-1$ ve $-2$).

  Polinom tanımına göre, değişkenin kuvvetleri doğal sayı olmalıydı ($0, 1, 2, \dots$). Negatif kuvvetler veya değişkenin paydada bulunması, ifadenin bir polinom olmasını engeller.

• Seçenekleri Değerlendirelim:

  • A) Bir polinomdur çünkü katsayılar gerçek sayıdır: Katsayıların gerçek sayı olması polinom olma şartlarından biridir, ancak tek başına yeterli değildir. Değişkenin kuvvetleri de doğal sayı olmalıdır. Bu ifade bir polinom değildir.
  • B) Bir polinomdur çünkü derecesi 3'tür: İfade bir polinom olmadığı için derecesinden bahsedemeyiz.
  • C) Bir polinom değildir çünkü değişken paydada bulunur: Evet, bu ifade bir polinom değildir çünkü sadeleştirilmiş halinde $x$ değişkeni paydada yer almaktadır (yani $x^{-1}$ ve $x^{-2}$ terimleri vardır). Bu durum, polinom tanımına aykırıdır.
  • D) Bir polinom değildir çünkü sabit terimi yoktur: Bir polinomun sabit terimi olmaması onu polinom olmaktan çıkarmaz (örneğin $P(x) = x^2 + x$ bir polinomdur ve sabit terimi $0$'dır). Bu, ifadenin polinom olmamasının doğru nedeni değildir.

Bu analizler sonucunda, başlangıçtaki ifadenin bir polinom olmadığını ve bunun nedeninin değişkenin paydada bulunması olduğunu açıkça görmüş olduk.

Cevap C seçeneğidir.