Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir fonksiyonun grafiğinden limit değerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Sorumuz, verilen parçalı fonksiyonun grafiğine göre $ \lim_{x \to 3} f(x) $ değerini bulmak.
- Limiti Anlamak: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, o noktaya hem soldan hem de sağdan yaklaştığımızda fonksiyonun hangi $y$ değerine yaklaştığını gösterir. Fonksiyonun o noktadaki değeri (yani $f(3)$) limitin varlığı veya değeri için doğrudan önemli değildir; önemli olan o noktaya yaklaşırken ne olduğudur.
- Sol Limiti İnceleme: Grafiğe baktığımızda, $x$ değerleri 3'e soldan (yani 3'ten küçük değerlerden) yaklaşırken, fonksiyonun grafiğinin $y$ ekseninde hangi değere yaklaştığını gözlemleriz. Soru içeriğinde belirtildiği gibi, "x=3'te fonksiyonun sağ ve sol limitleri 4'te birleşiyor." Bu durumda, $ \lim_{x \to 3^-} f(x) = 4 $ olduğunu görürüz. Yani, $x$ 3'e soldan yaklaştıkça, $f(x)$ değeri 4'e yaklaşır.
- Sağ Limiti İnceleme: Şimdi de $x$ değerleri 3'e sağdan (yani 3'ten büyük değerlerden) yaklaşırken fonksiyonun grafiğinin $y$ ekseninde hangi değere yaklaştığına bakalım. Yine soru içeriğinde belirtildiği gibi, "x=3'te fonksiyonun sağ ve sol limitleri 4'te birleşiyor." Bu durumda, $ \lim_{x \to 3^+} f(x) = 4 $ olduğunu görürüz. Yani, $x$ 3'e sağdan yaklaştıkça, $f(x)$ değeri yine 4'e yaklaşır.
- Limitin Varlığı ve Değeri: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, ancak ve ancak o noktadaki sol limiti ($ \lim_{x \to 3^-} f(x) $) ile sağ limiti ($ \lim_{x \to 3^+} f(x) $) birbirine eşitse vardır. Bizim durumumuzda, hem sol limit hem de sağ limit $4$'tür. Yani, $ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 4 $. Bu iki limit birbirine eşit olduğu için, $ \lim_{x \to 3} f(x) $ limiti vardır ve değeri bu ortak değere eşittir.
- Sonuç: Dolayısıyla, $ \lim_{x \to 3} f(x) = 4 $ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
