10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 1

İki basamaklı $A$ ve $B$ doğal sayıları için $EBOB(A,B) = 6$ ve $EKOK(A,B) = 180$ olarak verilmiştir. Buna göre $A+B$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 66
B) 78
C) 90
D) 102

Bu soruyu çözmek için öncelikle EBOB ve EKOK arasındaki ilişkiyi hatırlayalım. İki sayı için:

• $EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B) = A \cdot B$

Bu soruda $EBOB(A, B) = 6$ ve $EKOK(A, B) = 180$ olarak verilmiş. O halde:

• $6 \cdot 180 = A \cdot B$
• $1080 = A \cdot B$

Şimdi de $A$ ve $B$ sayılarını $EBOB(A, B) = 6$ olacak şekilde ifade edelim. Yani $A = 6x$ ve $B = 6y$ olsun. Burada $x$ ve $y$ aralarında asal olmalıdır (aksi takdirde EBOB 6'dan büyük olurdu). Bu durumda:

• $A \cdot B = (6x) \cdot (6y) = 36xy = 1080$
• $xy = \frac{1080}{36} = 30$

$x$ ve $y$ aralarında asal ve çarpımları 30 olan sayı çiftlerini bulalım:

• (1, 30)
• (2, 15) (2 ve 15 aralarında asal değil)
• (3, 10)
• (5, 6)

Bu durumda $(x, y)$ çiftleri (1, 30), (3, 10) ve (5, 6) olabilir. Şimdi de bu değerlere karşılık gelen $A$ ve $B$ değerlerini ve $A+B$ toplamlarını bulalım:

• $(x, y) = (1, 30)$ ise $A = 6 \cdot 1 = 6$ ve $B = 6 \cdot 30 = 180$. Bu durumda $A + B = 6 + 180 = 186$. Ancak $A$ ve $B$ iki basamaklı sayılar olmalıydı, bu yüzden bu çözüm geçerli değil.
• $(x, y) = (30, 1)$ ise $A = 6 \cdot 30 = 180$ ve $B = 6 \cdot 1 = 6$. Bu durumda $A + B = 180 + 6 = 186$. Ancak $A$ ve $B$ iki basamaklı sayılar olmalıydı, bu yüzden bu çözüm geçerli değil.
• $(x, y) = (3, 10)$ ise $A = 6 \cdot 3 = 18$ ve $B = 6 \cdot 10 = 60$. Bu durumda $A + B = 18 + 60 = 78$.
• $(x, y) = (10, 3)$ ise $A = 6 \cdot 10 = 60$ ve $B = 6 \cdot 3 = 18$. Bu durumda $A + B = 60 + 18 = 78$.
• $(x, y) = (5, 6)$ ise $A = 6 \cdot 5 = 30$ ve $B = 6 \cdot 6 = 36$. Bu durumda $A + B = 30 + 36 = 66$.
• $(x, y) = (6, 5)$ ise $A = 6 \cdot 6 = 36$ ve $B = 6 \cdot 5 = 30$. Bu durumda $A + B = 36 + 30 = 66$.

Bulduğumuz $A+B$ toplamları 66 ve 78'dir. Seçeneklerdeki 66 ve 78 değerleri olabilir. Geriye 90 ve 102 kalıyor. Bu değerlerden hangisi olamaz diye kontrol edelim.

Eğer $A+B = 90$ ise ve $A = 6x$ ve $B = 6y$ ise, $6x + 6y = 90$ olur. Buradan $x+y = 15$ gelir. $x$ ve $y$ aralarında asal olmalı ve $xy = 30$ olmalı. $x+y = 15$ ve $xy = 30$ denklemlerini sağlayan aralarında asal $x$ ve $y$ sayıları yoktur. Bu nedenle $A+B = 90$ olamaz.

Eğer $A+B = 102$ ise ve $A = 6x$ ve $B = 6y$ ise, $6x + 6y = 102$ olur. Buradan $x+y = 17$ gelir. $x$ ve $y$ aralarında asal olmalı ve $xy = 30$ olmalı. $x+y = 17$ ve $xy = 30$ denklemlerini sağlayan aralarında asal $x$ ve $y$ sayıları yoktur. Bu nedenle $A+B = 102$ olamaz.

Ancak, seçeneklerde sadece bir tane "olamaz" seçeneği var. 66 ve 78 değerlerini bulduğumuz için, 90 olamaz.

Cevap C seçeneğidir.