10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 1

Bir matematik öğretmeni, tahtaya iki pozitif tam sayı olan $M$ ve $N$'yi yazmıştır. Öğrencilerinden bu iki sayının EBOB'u ve EKOK'unu bulmalarını istemiştir. Öğrencilerden biri $EBOB(M,N) = 12$ ve $EKOK(M,N) = 144$ olarak bulmuştur. Diğer bir öğrenci ise $EBOB(M,N) = 18$ ve $EKOK(M,N) = 72$ olarak bulmuştur. Her iki öğrencinin de EBOB ve EKOK değerlerinden sadece birini doğru bulduğu bilindiğine göre, $M+N$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 60
B) 84
C) 120
D) 162

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve dikkatlice çözerek, EBOB ve EKOK kavramlarını daha iyi anlamanızı sağlayacağım.

• Adım 1: EBOB ve EKOK İlişkisini Hatırlayalım

İki pozitif tam sayı olan $M$ ve $N$ için, $EBOB(M,N) \cdot EKOK(M,N) = M \cdot N$ olduğunu biliyoruz. Bu önemli ilişkiyi aklımızda tutalım.

• Adım 2: Öğrenci 1'in Cevaplarını İnceleyelim

Öğrenci 1, $EBOB(M,N) = 12$ ve $EKOK(M,N) = 144$ bulmuş. Bu durumda $M \cdot N = 12 \cdot 144 = 1728$ olur.

• Adım 3: Öğrenci 2'nin Cevaplarını İnceleyelim

Öğrenci 2, $EBOB(M,N) = 18$ ve $EKOK(M,N) = 72$ bulmuş. Bu durumda $M \cdot N = 18 \cdot 72 = 1296$ olur.

• Adım 4: Doğru EBOB ve EKOK Değerlerini Bulalım

Soruda, öğrencilerden sadece birinin EBOB veya EKOK değerini doğru bulduğu belirtilmiş. Bu durumda iki durum söz konusu olabilir:

• Durum 1: Öğrenci 1'in EBOB'u doğru ise, $M \cdot N = 12 \cdot EKOK(M,N)$ olmalı. Aynı zamanda Öğrenci 2'nin EKOK'u doğru ise, $M \cdot N = EBOB(M,N) \cdot 72$ olmalı. Bu durumda $M \cdot N = 1296$ olmalıdır. Yani Öğrenci 2'nin EBOB'u yanlış, EKOK'u doğrudur. Bu durumda $EBOB(M,N) = 12$ olamaz.
• Durum 2: Öğrenci 1'in EKOK'u doğru ise, $M \cdot N = EBOB(M,N) \cdot 144$ olmalı. Aynı zamanda Öğrenci 2'nin EBOB'u doğru ise, $M \cdot N = 18 \cdot EKOK(M,N)$ olmalı. Bu durumda $M \cdot N = 1728$ olamaz. Yani Öğrenci 1'in EKOK'u yanlış, EBOB'u doğrudur. Bu durumda $M \cdot N = 1728$ olmalıdır.

Bu durumda, doğru değerler $EBOB(M,N) = 18$ ve $EKOK(M,N) = 144$ olmalıdır. Çünkü $18 \cdot 144 = 2592$ ve $M \cdot N = 2592$ olmalıdır.

• Adım 5: M ve N Değerlerini Bulalım

$M = 18a$ ve $N = 18b$ olsun. Burada $a$ ve $b$ aralarında asal sayılardır. $EKOK(M,N) = 18ab = 144$ ise, $ab = 8$ olur. Aralarında asal ve çarpımları 8 olan sayılar (1,8) ve (8,1) olabilir. Bu durumda:

• $a=1$, $b=8$ ise, $M = 18$ ve $N = 144$. $M+N = 18+144 = 162$
• $a=8$, $b=1$ ise, $M = 144$ ve $N = 18$. $M+N = 144+18 = 162$

Başka bir ihtimal, $EBOB(M,N) = 18$ ve $EKOK(M,N) = 144$ değerlerinin yer değiştirmesi durumunda da $M \cdot N = 18 \cdot 144 = 2592$ olmalıdır. Bu durumda $M = 36$ ve $N = 72$ olabilir. $EBOB(36,72) = 36$ ve $EKOK(36,72) = 72$ olur. Bu durum sorudaki şartları sağlamaz.

Şimdi $EBOB(M,N) = 12$ ve $EKOK(M,N) = 72$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $M \cdot N = 12 \cdot 72 = 864$ olur. $M = 12a$ ve $N = 12b$ olsun. $EKOK(M,N) = 12ab = 72$ ise, $ab = 6$ olur. Aralarında asal ve çarpımları 6 olan sayılar (1,6) ve (2,3) olabilir. Bu durumda:

• $a=1$, $b=6$ ise, $M = 12$ ve $N = 72$. $M+N = 12+72 = 84$
• $a=6$, $b=1$ ise, $M = 72$ ve $N = 12$. $M+N = 72+12 = 84$
• $a=2$, $b=3$ ise, $M = 24$ ve $N = 36$. $M+N = 24+36 = 60$
• $a=3$, $b=2$ ise, $M = 36$ ve $N = 24$. $M+N = 36+24 = 60$
• Adım 6: M+N Toplamının Olamayacağı Değeri Bulalım

Bulduğumuz değerlere göre $M+N$ toplamı 60, 84 veya 162 olabilir. Seçeneklerdeki değerlere baktığımızda 120 bu toplam olamaz.

Cevap C seçeneğidir.