10. Sınıf Ebob ve Ekok Özellikleri Test 1

$A$ ve $B$ pozitif tam sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış halleri $A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ ve $B = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ şeklindedir. $EBOB(A,B) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ ve $EKOK(A,B) = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^3$ olduğuna göre, $a+b+c+x+y+z$ toplamı kaçtır?

A) 18
B) 20
C) 22
D) 24

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: EBOB ve EKOK'un tanımını hatırlayalım.

  EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Asal çarpanlara ayrılmış hallerinde, her asal çarpanın üssü, iki sayıdaki üslerin minimumu alınarak bulunur.

  EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Asal çarpanlara ayrılmış hallerinde, her asal çarpanın üssü, iki sayıdaki üslerin maksimumu alınarak bulunur.

• Adım 2: Verilenleri inceleyelim.

  Bize $A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ ve $B = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ verildi.

  Ayrıca $EBOB(A,B) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ ve $EKOK(A,B) = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^3$ olduğu belirtilmiş.

• Adım 3: Üsleri karşılaştıralım.

  EBOB için üsler minimum değerleri, EKOK için üsler maksimum değerleri temsil eder. Bu durumda:

  • $min(a,x) = 3$ ve $max(a,x) = 5$
  • $min(b,y) = 2$ ve $max(b,y) = 4$
  • $min(c,z) = 1$ ve $max(c,z) = 3$
• Adım 4: $a, x, b, y, c, z$ değerlerini bulalım.

  İki sayının minimum ve maksimum değerleri biliniyorsa, bu iki sayının toplamı, minimum ve maksimum değerlerin toplamına eşittir.

  • $a + x = 3 + 5 = 8$
  • $b + y = 2 + 4 = 6$
  • $c + z = 1 + 3 = 4$
• Adım 5: Toplamı hesaplayalım.

  $a+b+c+x+y+z = (a+x) + (b+y) + (c+z) = 8 + 6 + 4 = 18$

Cevap A seçeneğidir.