Kapalı aralık nedir Test 2

h(x) = 3x - x³ fonksiyonu [-√3, √3] kapalı aralığında tanımlanmıştır. Fonksiyonun bu aralıktaki mutlak maksimum değeri kaçtır?

A) -2
B) 0
C) 2
D) 3

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum değerini bulmak için belirli adımları takip etmemiz gerekir. Bu adımlar, fonksiyonun kritik noktalarını ve aralığın uç noktalarını değerlendirmeyi içerir. Şimdi $h(x) = 3x - x^3$ fonksiyonunun $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ aralığındaki mutlak maksimum değerini bulalım.

• 1. Adım: Fonksiyonun Türevini Alın.

  Mutlak maksimum ve minimum değerleri bulmak için ilk olarak fonksiyonun türevini almamız gerekir. Bu, kritik noktaları bulmamızı sağlar.

  $h(x) = 3x - x^3$

  $h'(x) = \frac{d}{dx}(3x - x^3) = 3 - 3x^2$

• 2. Adım: Kritik Noktaları Bulun.

  Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Bu fonksiyonun türevi her yerde tanımlıdır, bu yüzden sadece türevi sıfıra eşitlememiz yeterlidir.

  $h'(x) = 0 \implies 3 - 3x^2 = 0$

  $3 = 3x^2$

  $1 = x^2$

  $x = \pm 1$

  Bu kritik noktalarımız $x = 1$ ve $x = -1$'dir.

• 3. Adım: Kritik Noktaların ve Aralığın Uç Noktalarının Fonksiyon Değerlerini Hesaplayın.

  Mutlak maksimum değeri bulmak için, bulduğumuz kritik noktaların ve verilen aralığın uç noktalarının (sınır değerlerinin) fonksiyon değerlerini hesaplamamız gerekir. Verilen aralık $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$'tür. Unutmayın ki $\sqrt{3} \approx 1.732$ olduğundan, $x = 1$ ve $x = -1$ kritik noktaları bu aralığın içindedir.

  Aralığın sol uç noktası: $x = -\sqrt{3}$

  $h(-\sqrt{3}) = 3(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})^3$

  $h(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})$

  $h(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0$

  Kritik nokta: $x = -1$

  $h(-1) = 3(-1) - (-1)^3$

  $h(-1) = -3 - (-1)$

  $h(-1) = -3 + 1 = -2$

  Kritik nokta: $x = 1$

  $h(1) = 3(1) - (1)^3$

  $h(1) = 3 - 1 = 2$

  Aralığın sağ uç noktası: $x = \sqrt{3}$

  $h(\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3}) - (\sqrt{3})^3$

  $h(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - (3\sqrt{3})$

  $h(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$

• 4. Adım: En Büyük Değeri Belirleyin.

  Hesapladığımız tüm fonksiyon değerlerini karşılaştıralım: $0, -2, 2, 0$.

  Bu değerler arasında en büyüğü $2$'dir.

Bu nedenle, fonksiyonun verilen aralıktaki mutlak maksimum değeri $2$'dir.

Cevap C seçeneğidir.