\( (2^3 \cdot 3^2)^2 \) işlemini yapan bir öğrenci sonucu \( 2^5 \cdot 3^4 \) bulmuştur.
Bu öğrencinin yaptığı hata aşağıdakilerden hangisidir?
A) Dağılma özelliğini yanlış uygulaması
B) Üsleri toplaması gereken yerde çarpması
C) Tabanları toplaması
D) Sadece bir terimin üssünü alması
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, üslü sayılarla yapılan bir işlemde sıkça karşılaşılan bir hatayı inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek hem doğru çözümü bulalım hem de hatanın nedenini anlayalım.
- Verilen İşlem: $ (2^3 \cdot 3^2)^2 $
- Öğrencinin Bulduğu Sonuç: $ 2^5 \cdot 3^4 $
Şimdi, doğru çözümü adım adım yapalım:
- Üslü sayılarda bir çarpımın kuvvetini alırken, dıştaki kuvvet parantez içindeki her bir terimin kuvvetiyle çarpılır. Yani, $ (a^m \cdot b^n)^k = a^{m \cdot k} \cdot b^{n \cdot k} $ kuralını uygularız.
- Bu kuralı $ (2^3 \cdot 3^2)^2 $ işlemine uygulayalım:
- İlk terim için: $ (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 $
- İkinci terim için: $ (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 $
- Buna göre, işlemin doğru sonucu $ 2^6 \cdot 3^4 $ olmalıdır.
Şimdi öğrencinin bulduğu sonuç ile doğru sonucu karşılaştıralım:
- Öğrencinin sonucu: $ 2^5 \cdot 3^4 $
- Doğru sonuç: $ 2^6 \cdot 3^4 $
Gördüğümüz gibi, öğrenci $ 3^2 $ teriminin kuvvetini doğru almış ($ (3^2)^2 = 3^4 $). Ancak $ 2^3 $ teriminin kuvvetini yanlış almış. Öğrenci $ (2^3)^2 $ işlemini $ 2^{3+2} = 2^5 $ şeklinde hesaplamış. Oysa doğru hesaplama $ 2^{3 \cdot 2} = 2^6 $ olmalıydı.
Bu durumda öğrencinin yaptığı hata, bir üslü sayının tekrar üssünü alırken (yani $ (a^m)^n $ durumunda) üsleri çarpması gerekirken toplamasıdır. Bu, üslü sayılarda kuvvetin dağılma özelliğinin yanlış uygulanması anlamına gelir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Dağılma özelliğini yanlış uygulaması: Üslü sayılarda $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ kuralı, kuvvetin kuvvetine dağılma özelliğidir. Öğrenci $ (2^3)^2 $ ifadesinde $3$ ve $2$ üslerini çarpmak yerine toplamıştır ($3+2=5$). Bu, dağılma özelliğinin yanlış uygulanmasıdır.
- B) Üsleri toplaması gereken yerde çarpması: Öğrenci üsleri toplaması gereken yerde çarpmamış, tam tersine çarpması gereken yerde toplamıştır. Bu seçenek yanlıştır.
- C) Tabanları toplaması: Öğrenci tabanları ($2$ ve $3$) toplamamıştır. Bu seçenek yanlıştır.
- D) Sadece bir terimin üssünü alması: Öğrenci hem $2^3$ hem de $3^2$ terimlerinin üssünü almıştır, ancak $2^3$ teriminin üssünü yanlış almıştır. Dolayısıyla bu seçenek de yanlıştır.
Öğrencinin hatası, $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ kuralını $ (a^m)^n = a^{m+n} $ şeklinde uygulamasıdır. Bu, üslü sayılarda kuvvetin kuvvetine dağılma özelliğinin yanlış anlaşılması veya uygulanmasıdır.
Cevap A seçeneğidir.
