Bir üçgenin alanını bulmak, kenar uzunlukları ve yükseklik gibi bilgileri kullanarak mümkündür. Temel alan formülü ve bu formülün farklı durumlarda nasıl uygulandığını öğreneceğiz.
Bir üçgenin alanı, herhangi bir kenarın uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
\( Alan(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \)
Önemli: Yükseklik, daima ilgili kenara (tabana) dik olarak inmelidir.
Bir üçgende iki kenarın uzunluğu ve bu iki kenar arasında kalan açının sinüs değeri biliniyorsa alan aşağıdaki formülle bulunur.
\( Alan(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B \)
Veya genel olarak; \( Alan = \frac{1}{2} \cdot |birinci kenar| \cdot |ikinci kenar| \cdot \sin(\text{aradaki açı}) \)
Bir üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa, çevrenin yarısını (\(u\)) bulup Heron Formülü'nü kullanarak alanı hesaplayabiliriz.
\( u = \frac{a + b + c}{2} \) (Çevrenin yarısı)
\( Alan(\widehat{ABC}) = \sqrt{u \cdot (u - a) \cdot (u - b) \cdot (u - c)} \)
Bir eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit uzunluktadır (\(a\)). Yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.
\( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
\( Alan = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
Dik üçgende, dik kenarlar aynı zamanda birbirlerinin yüksekliğidir. Bu nedenle alan, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.
\( Alan = \frac{1}{2} \cdot |1. dik kenar| \cdot |2. dik kenar| \)
Soru: Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm: Bu bir dik üçgendir (6-8-10 üçgeni). Bu nedenle dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir.
\( Alan = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) cm2
Alternatif Çözüm (Heron Formülü):
\( u = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \)
\( Alan = \sqrt{12 \cdot (12-6) \cdot (12-8) \cdot (12-10)} = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24 \) cm2
Soru 1: Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları |AB| = 12 cm, |AC| = 9 cm ve m(∠A) = 60° olarak veriliyor. Buna göre, A(ABC) kaç cm²'dir?
a) 27√3 b) 36 c) 27 d) 18√3 e) 24√2
Cevap: A
Çözüm: İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan formülü kullanılır: A(ABC) = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(∠A) = (1/2) * 12 * 9 * sin(60°) = (1/2) * 12 * 9 * (√3/2) = 27√3 cm².
Soru 2: Çevre uzunluğu 24 cm olan bir eşkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 12√3 b) 16√3 c) 18√3 d) 20√3 e) 24√3
Cevap: B
Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 24/3 = 8 cm'dir. Eşkenar üçgenin alan formülü (a²√3)/4'tür. Buna göre, Alan = (8²√3)/4 = (64√3)/4 = 16√3 cm².
Soru 3: Koordinat düzleminde A(1, 2), B(5, 6) ve C(3, 10) noktaları veriliyor. Buna göre, ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
Cevap: C
Çözüm: Koordinatları verilen bir üçgenin alanı determinant yöntemiyle hesaplanır. Formül: Alan = 1/2 |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|. Değerler yerine konulursa: Alan = 1/2 |1*(6 - 10) + 5*(10 - 2) + 3*(2 - 6)| = 1/2 |1*(-4) + 5*8 + 3*(-4)| = 1/2 |-4 + 40 -12| = 1/2 * |24| = 12 br².
