Vektörlerin özellikleri 9. sınıf Test 2

Aynı düzlemde bulunan iki vektörün toplamının maksimum değeri 15 N, minimum değeri ise 5 N'dir. Buna göre bu iki vektörün büyüklükleri kaç N'dir?

A) 5 ve 10
B) 7 ve 8
C) 6 ve 9
D) 10 ve 5

Bu soruda, aynı düzlemde bulunan iki vektörün toplamının alabileceği maksimum ve minimum değerler verilmiş. Bizden bu vektörlerin büyüklüklerini bulmamız isteniyor. Vektörlerin nasıl toplandığını ve bu maksimum/minimum değerlerin ne anlama geldiğini hatırlayarak adım adım ilerleyelim.

• 1. Vektör Toplamının Maksimum Değeri:

  İki vektörün toplamının alabileceği en büyük değer, bu vektörler aynı yönde (aralarındaki açı $0^\circ$) olduğunda gerçekleşir. Bu durumda, vektörlerin büyüklükleri doğrudan toplanır.

  Eğer vektörlerin büyüklükleri $A$ ve $B$ ise, maksimum toplam şu şekilde ifade edilir:

  $A + B = 15$ N (Denklem 1)

• 2. Vektör Toplamının Minimum Değeri:

  İki vektörün toplamının alabileceği en küçük değer (ya da farkının mutlak değeri), bu vektörler zıt yönde (aralarındaki açı $180^\circ$) olduğunda gerçekleşir. Bu durumda, vektörlerin büyüklükleri birbirinden çıkarılır.

  Büyüklükleri $A$ ve $B$ olan vektörler için, minimum toplam (büyük olandan küçük olanı çıkararak) şu şekilde ifade edilir:

  $|A - B| = 5$ N

  Genellikle, $A$ vektörünün büyüklüğünün $B$ vektörünün büyüklüğünden daha büyük olduğunu varsayarsak ($A \ge B$), denklemimiz şöyle olur:

  $A - B = 5$ N (Denklem 2)

• 3. Denklem Sistemini Çözme:

  Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:

  1) $A + B = 15$

  2) $A - B = 5$

  Bu iki denklemi alt alta toplayarak $B$ terimini yok edebiliriz:

  $(A + B) + (A - B) = 15 + 5$

  $2A = 20$

  $A = \frac{20}{2}$

  $A = 10$ N

• 4. İkinci Vektörün Büyüklüğünü Bulma:

  $A$ değerini bulduktan sonra, bu değeri Denklemlerden herhangi birine yerine koyarak $B$ değerini bulabiliriz. Denklem 1'i kullanalım:

  $A + B = 15$

  $10 + B = 15$

  $B = 15 - 10$

  $B = 5$ N

• 5. Sonucu Kontrol Etme:

  Bulduğumuz değerler $A = 10$ N ve $B = 5$ N. Bu değerlerin verilen koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  Maksimum toplam: $A + B = 10 + 5 = 15$ N (Doğru)

  Minimum toplam: $A - B = 10 - 5 = 5$ N (Doğru)

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz vektör büyüklükleri sorudaki koşulları tam olarak sağlamaktadır.

Bu durumda, iki vektörün büyüklükleri $10$ N ve $5$ N'dir.

Cevap D seçeneğidir.