9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Nedir? Örnek çözümlü sorular Test 2

ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ve E noktaları alınıyor. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 8 cm olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?

A) 12
B) 14
C) 16
D) 20

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, üçgenlerde benzerlik konusunu kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Benzer Üçgenleri Belirleyelim:

  Soruda bize $[DE] // [BC]$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu paralellik, $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir. Neden mi? Çünkü:

  • $\angle A$ açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
  • $[DE] // [BC]$ olduğu için, $\angle ADE$ açısı ile $\angle ABC$ açısı yöndeş açılardır ve birbirine eşittirler. ($m(\angle ADE) = m(\angle ABC)$)
  • Aynı şekilde, $\angle AED$ açısı ile $\angle ACB$ açısı da yöndeş açılardır ve birbirine eşittirler. ($m(\angle AED) = m(\angle ACB)$)

  Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (ADE üçgeni, ABC üçgenine benzerdir) diyebiliriz.

• 2. Benzerlik Oranını Yazalım:

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda, aşağıdaki oranı yazabiliriz:

  $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AE|}{|AC|}$

  Bizim sorumuzda $|AD|$, $|DB|$ ve $|DE|$ uzunlukları verilmiş, $|BC|$ uzunluğu isteniyor. Bu yüzden ilk iki oranı kullanmamız yeterli olacaktır: $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}$

• 3. Gerekli Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:

  Bize verilenler:

  • $|AD| = 4$ cm
  • $|DB| = 6$ cm
  • $|DE| = 8$ cm

  Benzerlik oranında $|AB|$ uzunluğuna ihtiyacımız var. $|AB|$ uzunluğu, $|AD|$ ve $|DB|$ uzunluklarının toplamıdır:

  $|AB| = |AD| + |DB| = 4 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$

• 4. Benzerlik Oranını Kullanarak Bilinmeyeni Bulalım:

  Şimdi bulduğumuz ve bize verilen değerleri benzerlik oranında yerine yazalım:

  $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}$

  $\frac{4}{10} = \frac{8}{|BC|}$

• 5. Denklemi Çözelim:

  Bu orantıyı çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:

  $4 \times |BC| = 10 \times 8$

  $4 \times |BC| = 80$

  Şimdi $|BC|$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $4$'e bölelim:

  $|BC| = \frac{80}{4}$

  $|BC| = 20$ cm

Böylece $|BC|$ uzunluğunu $20$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap D seçeneğidir.