9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Nedir? Örnek çözümlü sorular

Question

Üçgenlerde benzerlik konusunu genel olarak anlıyorum ama benzerlik oranını sorularda nasıl kullanacağımı tam olarak kavrayamadım. Özellikle kenar oranlarıyla alan oranları arasındaki ilişkiyi kurmakta zorlanıyorum. Bu konuda basit ve adım adım ilerleyen örnek sorular görmek istiyorum.

Answer 1

Üçgenlerde Benzerlik

Geometride, şekillerin benzer olması, aynı şekle sahip oldukları ancak farklı boyutlarda olabilecekleri anlamına gelir. Üçgenler için benzerlik, açıların eşit ve kenar uzunluklarının orantılı olması demektir.

Benzerlik Koşulları

İki üçgenin benzer olduğunu kanıtlamak için aşağıdaki koşullardan herhangi birini kullanabiliriz. Benzerlik "∼" sembolü ile gösterilir.

• Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerlik Koşulu: İki üçgenin karşılıklı açıları eşitse bu üçgenler benzerdir. Aslında iki açının eşit olması yeterlidir, çünkü üçüncü açı otomatik olarak eşit olur.
• Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Koşulu: İki üçgenin birer açısı eşit ve bu açıyı oluşturan kenarlar orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Koşulu: İki üçgenin tüm kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

Benzerlik Oranı

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları arasındaki sabit orana benzerlik oranı denir. Örneğin, benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) ise, küçük üçgenin kenarları, büyük üçgenin karşılık gelen kenarlarının yarısı kadardır.

Çözümlü Örnek 1

Soru: Aşağıdaki şekilde \( [DE] \parallel [BC] \)'dir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |DE| = 6 \) cm ise, \( |BC| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

• \( [DE] \parallel [BC] \) olduğu için \( A\widehat{D}E = A\widehat{B}C \) ve \( A\widehat{E}D = A\widehat{C}B \) olur (yöndeş açılar).
• Açı-Açı benzerlik kuralına göre, \( ADE \sim ABC \) üçgenleri benzerdir.
• Benzerlik oranını bulalım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
• Kenarlar orantılı olduğundan: \( \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{6}{|BC|} = \frac{2}{3} \)
• İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2 \times |BC| = 6 \times 3 \)
• \( 2|BC| = 18 \)
• \( |BC| = 9 \) cm bulunur.

Çözümlü Örnek 2

Soru: Aşağıdaki şekilde \( [AB] \parallel [DE] \)'dir. \( |AC| = 10 \) cm, \( |CD| = 5 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm ise, \( |CE| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

• \( [AB] \parallel [DE] \) olduğu için \( B\widehat{A}C = E\widehat{D}C \) ve \( A\widehat{B}C = D\widehat{E}C \) olur (iç ters açılar).
• Açı-Açı benzerlik kuralına göre, \( ABC \sim DEC \) üçgenleri benzerdir.
• Benzerlik oranını bulalım: \( \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• Kenarlar orantılı olduğundan: \( \frac

Answer 2

9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir parkta bulunan ve zemine dik duran 4 metre uzunluğundaki bir lamba direğinin gölgesi 6 metre ölçülmüştür. Aynı anda, parktaki bir ağacın gölgesi 15 metre ölçüldüğüne göre, bu ağacın boyu kaç metredir?
a) 8   b) 9   c) 10   d) 12   e) 15
Cevap: c) 10
Çözüm: Güneş ışınları paralel olduğu için oluşan üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı: 4 / Ağaç Boyu = 6 / 15 → Ağaç Boyu = (4 * 15) / 6 = 10 metre.

Soru 2: ABC üçgeninde [DE] // [BC]'dir. |AD| = 6 cm, |DB| = 4 cm ve |DE| = 9 cm olduğuna göre, |BC| kaç cm'dir?
a) 12   b) 13   c) 14   d) 15   e) 16
Cevap: d) 15
Çözüm: Temel benzerlik teoremine göre |AD|/|AB| = |DE|/|BC|'dir. |AB| = 6+4=10 cm. Oran: 6/10 = 9/|BC| → |BC| = (9*10)/6 = 15 cm.

Soru 3: Aşağıdaki şekilde [BA] // [DE]'dir. |BC| = 12 cm, |CD| = 8 cm ve |CE| = 10 cm olduğuna göre, |AC| kaç cm'dir?
a) 15   b) 18   c) 20   d) 24   e) 25
Cevap: a) 15
Çözüm: [BA] // [DE] olduğundan, açıları eşit olan üçgenler benzerdir. |BC|/|CD| = |AC|/|CE| oranı yazılır: 12/8 = |AC|/10 → |AC| = (12*10)/8 = 15 cm.